CHAPITRE III. 8l
dant les choses de la même manière que dans tous les cas précédents,
cos(« -4- ^) = cos(^' -h b') = cosa' cos^' — sina'sin^' = cos« ces A — sina sin b
et
sin (a -h ^) = — sin (a' -{- b') =z — sin a' ces 6' — sin^'cos«' = sinfl cos^ -h sin^ cosflr.
Les formules (i) et (2) ont donc lieu lorsque les deux arcs sont négatifs.
58. Si l'un d'eux seulement est négatif, par exemple b -, posant b = — b\ on aura
cos{a ~h b) z=z cos{a — b') ; or, d'après la formule (4) démontrée générale, on a cos(û — b') =cos«cos^' 4- sina sin 6' =:cosflcos6 — sina sine.
On aura donc encore
cos{a -h ô) =: cosa ces 6 — sinasin^,
ce qui n'est autre chose que la formule ( 2) 5 et la formule (i ) sera aussi vérifiée dans ce même cas, car sin (a •+• i') sera sin (a — è') ousinacosi' — sin i'cosû,qui n'est autre chose que sin a cos i -H sin & cos a. On a donc
sin (a 4- ^ ) = sin a cos è -f- sin ^ cosa, lorsque l'un des arcs est positif et l'autre négatif.
59. On reconnaîtrait de même que les formules (3) et (4) ont lieu lorsque les arcs a et b ont des signes quelconques, nous croyons inutile de reproduire des raisonnements identiques.
Et la conclusion générale de ces discussions est que, de même que les équations démontrées précédemment, les
Sa SCIENCE DE l'étendue.
formules (i), (2), (3), (4) ont lieu pour des arcs de gran^
deurs et de signes quelconques^ en considérant les arcs et
les sigu es trigonoinétriques qui y en trent^ comme de simples
nombres quand elles sont dans le sens direct^ et comme
des nombres affectés du signe — quand elles sont dans
le sens inv^erse ,• à la condition que ces quantités négatis^es
isolées seront traitées, dans toutes les opérations auxquelles
elles sont soumises^ diaprés les règles démontrées pour
les quantités non isolées. Et il faut bien se rappeler qu'il
' n'y a rien à démontrer quant à ces opérations, qui n'ont
pas de sens par elles-mêmes 5 que cette manière d'opérer
est la condition de la généralisation, et que la seule chose
à démontrer était que c'était là le seul moyen d'obtenir
cette généralisation, à laquelle on pourrait à la rigueur
renoncer.
60. Remarque générale.. — Toutes les formules déduites de constructions pouvant se modifier avec la disposition des points et la grandeur des lignes, il est nécessaire de les discuter avec soin dans tous les cas que la figure peut présenter, et d'établir rigoureusement les conditions pour qu'elles soient générales, si cela est possible. Mais toute formule déduite, par les procédés ordinaires du calcul, de formules, démontrées générales à certaines conditions, le sera évidemment elle-même aux mêmes conditions. C'est pour cela qu'on évite autant que possible de démontrer par des considérations géométriques les nouvelles formules que l'on a intérêt à établir ; et qu'on cherche à les déduire, quand cela se peut, de formules dont la généralité a été démontrée. On se laisse quelquefois séduire par l'élégance et la simplicité d'une démonstration géométrique, et on ne se donne pas la peine d'examiner tous les cas et de s'assurer que la formule est générale aux mêmes conditions que toutes les autres. On pèche alors contre la rigueur, et on
