CHAPITRE III

facilement quVUe a ses trois racines réelles. Mais ce qui va nous occuper particulièrement, c'est Finlerprétation de ces trois racines. Nous allons montrer que d*après la signification précise que nous avons donnée à m et :r, Féquation en X doit être du troisième degré^ et avoir ses trois racines réelles, représentant les sinus d^arcs complètement définis. Commençons par remarquer que, m étant donné en grandeur et en signe, il y a une infinité d'arcs correspondants, positifs et négatifs. Si l'on désigne par 6 l'un quelconque d'entre eux, il est facile d'exprimer généralement tous les autres. En effet, leurs extrémités se confondent avec celle de B^ ou sont avec elle sur une même parallèle au diamètre fixe du cercle trigonométrique. Les premiers sont tous renfermés dans la formule générale

0ziz2/i7r.

Les autres, d'après une discussion faite précédemment, sont renfermés dans la suivante :

n et n! désignant des nombres entiers quelconques. Les tiers de tous ces arcs seront représentés par les deux formules suivantes :

, 2/i/r TT — , x/i'tt

et, d'après ce que nous avons dit en commençant^ les sinus de tous ces arcs doivent satisfaire à l'équation générale (a), c'est-à-dire à l'équation en x. Or, les nombres n eix sont nécessairement ou divisibles par 3, ou des multiples de 3, di I, de sorte que si l'on supprime des dernières expressions les circonférences entières, il ne restera que les six arcs

. 27r TT — . 27r

Les sinus de ces six arcs satisferont à T équation en a?, et il ne pourra y en avoir d'autres.

Or, les trois premiers ont pour extrémités trois points de la circonférence distants les uns des autres du tiers de la circonférence : leurs sinus sont donc généralement inégaux. Il en est de même des trois autres ^ mais les valeurs de leurs sinus rentrent dans les premières, car les trois arcs

ajoutés respectivement aux trois autres dans Tordre suivant :

TT ô 27r TT ô TT ô 27r

donnent tt ou — tt. Il n'y a donc à satisfaire à l'équation en X que les sinus des trois arcs

qui seront les racines de l'équation entre m et x. On sait donc, avant de chercher cette équation, qu'elle doit avoir trois racines réelles dont on connaît la signification 3 et si elle est trouvée de manière que meX x soient sûrement les sinus d'un arc et de son tiers, elle ne pourra avoir aucune autre racine réelle que les trois que nous avons indiquées. Cette discussion, faite avec beaucoup de détail, suffit pour bien faire comprendre la méthode à suivre dans tous les cas, et nous nous écarterions de notre objet en multipliant les applications.