DE L^ HOMOGÉNÉITÉ
2. Lorsqu'une équation entre les nombres qui représentent des grandeurs concrètes a été trouvée en exprimant des relations résultant des conditions d'un problème de Géométrie, et qu'aucune des grandeurs données n'a été choisie pour unité, cette équation offrira toujours une particularité remarquable, indépendante de sa forme et qu'il est nécessaire d'établir d'une manière générale.
Pour mieux faire comprendre en quoi elle consiste et d'où elle provient, considérons d'abord une quatrième proportionnelle à trois lignes représentées par les nombres
a^b^c\ son expression sera — t et le numérateur aura deux
facteurs linéaires^ c'est-à-dire représentant des lignes,
tandis que le dénominateur n*en a qu'un.
bc Si cette liffne — entre elle-même comme terme d'une .
proportion dont les deux premiers sont des lignes connues représentées par les nombres d^ e et le quatrième une ligne inconnue que nous appellerons x, on aura
bec
ad
et l'on voit qu'il y aura encore un facteur linéaire de plus au numérateur qu'au dénominateur. Et il en serait encore de même si cette nouvelle ligne x entrait avec trois autres dans une proportion, parce qu'en égalant le produit des extrêmes et des moyens, l'un des deux membres aura deux
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facteurs linéaires, et l'autre en aura deux de plus au numérateur qu'au dénominateur 5 d où résultera pour Tinconnué une expression fractionnaire dont le numérateur aura un facteur de plus que le dénominateur. Et il est évident que cela aura lieu quel que soit le nombre d'opérations semblables, puisque, si cette condition est remplie après un certain nombre de ces opérations, elle le sera, d'après notre raisonnement, après la suivante.
Or, si un terme d'une équation représente une ligne, tous les autres en représenteront aussi, car on n'a pas pu donner des conditions qui exigeraient qu'on ajoutât des lignes à des surfaces ou à des solides *, et si ces lignes ne sont exprimées que par une suite de quatrièmes proportionnelles, tous les termes auront un facteur linéaire de plus au numérateur qu'au dénominateur ^ d'où il suit que si on multiplie les deux membres par un même nombre quelconque de ces facteurs, il y en aura dans chaque terme un même nombre de plus au numérateur qu'au dénominateur. Et si on multiplie par tous ceux qui sont dans les divers dénominateurs , il y en aura un même nombre dans chaque terme.
Cette même circonstancç aura lieu si l'équation provient de l'addition ou de la soustraction de surfaces de figures planes, car leurs aires se ramenant au triangle seront exprimées par des produits de deux lignes 5 et si celles-ci proviennent d'une suite de quatrièmes proportionnelles, ces produits se présenteront sous forme de fractions ayant deux facteurs linéaires de plus au niimérateur qu'au dénominateur. Si on multiplie ensuite ou qu'on divise les deux membres de l'équation par un même nombre de ces facteurs, l!excès sera toujours le même en chaque terme ; et si on fait disparaître tous les dénominateurs, il y aura le même nombre de facteurs linéaires dans tous les ternies de l'équation.
