CHAPITRE PREMIER. l

II est clair qu'on aurait des résultats analogues si Téquation venait d'additions ou de soustractions de volumes, parce que leur mesure se faisant par des produits de trois lignes, tous les termes seraient composés de trois facteurs linéaires, ou, s'ils étaient fractionnaires, auraient trois facteurs de plus au numérateur qu'au dénominateur. Cet excès variera également par Teffet de multiplications ou de divisions des deux nombres 5 et si les facteurs linéaires disparaissent de tous les dénominateurs, il y aura le même nombre dans tous les termes.

Enfin, si les quantités qui forment les termes de l'équation sont non des lignes, des surfaces ou des volumes, mais des rapports de ces quantités entre elles, tous les termes auront autant de facteurs linéaires au numérateur qu'au dénominateur^ et si l'on fait disparaître ces derniers, le . nombre de ces facteurs sera encore le même dans tous les termes.

C'est à cette propriété générale qu'on a donné le nom àHiomogénéité. On voit par quelles, considérations on y a naturellement été conduit. Si l'on nomme degré d'un terme rationnel, l'excès du nombre de facteurs linéaires du numérateur sur le nombre de ceux du dénominateur, elle s'énonce en disant que toute équation provenant de relations entre des quantités géométriques, sans qu'aucune d'elles ait été choisie pour unités est composée de termes de même degré.

Toutes les équations d'une question étant homogènes, les combinaisons qu'on en fera pour en déduire les inconnues, ne conduiront jamais qu'à des équations homogènes. Si, par exemple, on tire de l'une d'elles la valeur d'une ligne et qu'on la substitue dans les autres, il est évident qu'il n'en résultera que des termes de même degré.

On pourrait croire cependant que la combinaison d'équations séparément homogènes conduirait quelquefois à

l4 SCIENCE DE L^ ÉTENDUE.

des équations qui ne le seraient pas. Cela arriverait évidemment si Ton ajoutait membre à membre des équations homogènes de degrés différents. Mais c'est ce que Ton ne fera jamais, parce que Ton ne fait ces additions qu'en vue de réductions, qui ne seraient pas possibles entre termes de degrés différents. Une semblable addition n'offrirait rien d'absurde, mais n'aurait aucune utilité et on ne la fera dans aucun cas.

3. Il est nécessaire de donner un peu d'extension à la définition de l'homogénéité^ parce que nous n'avons supposé jusqu'ici que des expressions rationnelles; et l'on peut souvent avoir des racines à extraire, comme il peut se présenter dès le début des expressions radicales.

Par exemple, la moyenne proportionnelle entre les lignes

représentées par les lettres «, b sera exprimée par v^a6. L'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés sont a, b

sera exprimée par \/a* -+- ft*. Il est donc nécessaire de donner une définition du degré des expressions radicales qui permette d'énoncer d'une manière générale la propriété dont nous nous occupons.

Or, comme en élevant une expression homogène de degré m à la puissance n on en obtient une de degré n fois plus grand mn^ et que par conséquent, si on extrait la racine j^Ume d'une expression de degré mn^ on obtient une expression de degré m quand l'extraction est possible, il est naturel de s'exprimer de la même manière quand l'opération ne peut être qu'indiquée, et de dire que l'extraction de la racine d'une expression homogène divise son degré par celui de la racine. On admettra ainsi des degrés fractionnaires, et l'on pourra dire qu'en extrayant des deux membres d'une équation homogène une racine de même degré, il en résultera une nouvelle équation homogène.