CHAPITRE PREMIER. III
L'origine de cette conception se montre assez clairement dans quelques mots de son Discours sur la méthode : « Je » n*eus pas dessein, dit-il, de tâcher d^apprendre toutes ces » sciences particulières qu^on nomme communément ma- » thématiques \ et voyant qu'encore que leurs objets soient » différents, elles ne laissent pas de s'accorder toutes en ce « qu^ elles ne considèrent autre chose que les divers rap- » ports ou proportions qui s'y trouvent, je pensai qu'il » valait mieux que j'examinasse seulement ces propor- )) lions en général, et sans les supposer que dans les su- » jets qui serviraient à m'en rendre la connaissance plus » aisée, même aussi sans les y astreindre aucunement, afin )} de les pouvoir d'autant mieux appliquer à tous les » autres auxquels elles conviendraient^ puis, ayant pris » garde que pour les connaître j'aurais quelquefois besoin y» de les considérer chacune en particulier et quelquefois » seulement de les retenir ou de les comprendre plusieurs M ensemble, je pensai que pour les considérer mieux en » particulier, je les devais supposer en des lignes, à cause » que je ne trouvais rien de plus simple, ni que je pusse » plus distinctement représenter à mon imagination et à » mes sens \ mais que pour les retenir ou les comprendre )) plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par » quelques chiffres les plus courts qu'il me serait possible , » et que par ce moyen j'emprunterais tout le meilleur de » Tanalyse géométrique et de l'Algèbre, et corrigerais tous » les défauts de l'une par l'autre. » On voit clairement par là que Descartes s'est proposé d'employer toutes les ressources delà science des nombres à l'étude de laGéohiétrie, et réciproquement^ mais que cette application ne serait pas restreinte à la Géométrie seulement, et qu'elle s'étendrait à toutes les autres sciences où l'on aurait à considérer des rapports ou proportions, indépendants de la nature particulière des choses dont elles s'occupent. Il entendait
112 ÉTUDE DES COUHBES.
donc, par exemple, que les formules de la science des nombres pouvaient être mises au service de la mécanique, de l'astronomie et de diverses branches de la physique. Cette conception a changé la face de toutes ces sciences, et c'est à elle en grande partie qu'elles doivent les immenses progrès qu'elles ont faits depuis Descaries. Nous ne l'envisagerons ici qu'au point de vue de l'application mutuelle de la science des nombres et de la Géométrie pure.
Après avoir donné la règle que nous avons fait connaître précédemment pour mettre en équation les problèmes de Géométrie, déterminés ou indéterminés, c'est-à-dire dans lesquels le nombre des équations est égal ou inférieur à celui des inconnues, Descaries entreprend la solution d'un problème de Géométrie, ébauché par les anciens, et dans lequel il s'agit de déterminer la position d'un point par la condition que le produit de ses distances à certaines droites données soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à d'autres droites données en même nombre. Il y a une infinité de points satisfaisant à cette même condition, et les géomètres anciens avaient reconnu dans quelques cas particuliers que le lieu était une section conique. Descartes mit en équation la question générale. Il détermina la position d'un point quelconque par ses distances x et j k deux axes fixes, exprima au moyen de ces deux quantités chacune des lignes en ques^tion, et la condition donnée lui fournit immédiatement une équation entre x, j et des quantités connues.
Cette équation était également facile à établir, quel que fut le nombre des lignes multipliées ^ mais il n'en était pas de même de la discussion et de la construction. La longueur de chaque ligne était représentée par une expression, du premier degré en x et j^, et le degré des deux produits était par conséquent égal au nombre des facteurs. Les cas examinés par Ëuclide et Apollonius se rapportaient à des
