CHAPITRE PREMIER

REPRÉSENTATION DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES PAR DES ÉQUATIONS. - EXEMPLES DE SOLUTIONS ÉTRANGÈRES ET DE SOLUTIONS PERDUES. - NOUVEAUX EXEMPLES DE GÉNÉRALISATION PAR LES QUANTITÉS NÉGATIVES.

80. Nous avons vu que les problèmes de Géométrie se ramenaient généralement à la détermination de certaines grandeurs, ou de la position de certains points. Et comme la position d'un point sur un plan se détermine elle-même par certaines grandeurs que nous avons nommées ses coordonnées^ il en est résulté que la résolution des problèmes de Géométrie par le calcul, se réduit à la recherche d'équations entre les grandeurs données et des grandeurs inconnues, qui seront les coordonnées de points à déterminer, ou d'autres grandeurs quelconques, suivant la nature de la question.

Lorsqu'un point cherché ne peut avoir qu'une position ou du moins un nombre limité de positions, il existera deux relations distinctes entre ses deux coordonnées; et

IIO ÉTCDE DES COURBES.

celles -ci seront données par les solutions communes à ces deux équations.

Mais lorsque le point cherché peut avoir une infinité de positions se suivant d^une manière continue, il est évident qu'il ne peut exister deux équations distinctes entre ses coordonnées, mais qu'il faut pouvoir prendre arbitrairement Tune des deux, entre certaines limites peut-être, et que l'autre doit en résulter; ce qui exige qu'il y ait une relation entre les deux coordonnées de chaque point. De sorte que la détermination d'un lieu géométrique par le calcul, consistera dans la recherche de l'équation entre les coordonnées de chacun de ses points, résultant de conditions géométriques qui lui sont imposées.

81. On peut dire à la rigueur que la représentation des courbes par une équation générale entre les coordonnées de chacun de leurs points, a été connue de tout temps. Ainsi, dire que la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque d'un cercle sur un de ses diamètres, est moyenne proportionnelle entre les deux segments, c'est donner une équation entre les coordonnées de tout point du cercle qui seront la perpendiculaire et l'un des segments du diamètre. Les propriétés les plus simples des autres sections coniques et d'autres courbes encore fournissaient des équations entre les coordonnées de diverses espèces d'un point quelconque de ces courbes. Mais les procédés de la science des nombres et les transformations dites algébriques^ étaient si peu avancés chez les anciens, que ces propriétés des courbes, équivalentes au fond à des équations, n'avaient pu donner lieu à de sérieuses applications de la science des nombres à la théorie des courbes.

C'est à Descartes que l'on doit réellement le premier pas dans celte direction, et il a été d'une importance capitale.