CHAPITRE PREMIER. Il

de ces diverses formes que nous avons tant insisté sur la généralisalion des formules; car en renfermant toutes ces formes dans une seule, quand cela est possible, à certaines conditions, un seul calcul donne aux mêmes conditions un résultat qui renferme tous les autres.

Pour éclairer ceci par un exemple simple, supposons qu'on demande V équation du lieu des points qui, dans un plan donné y sont à une même distance d^un point donné.

Rapportons les positions à deux axes rectangulaires AX, AY (Jîg^ ly) pris dans ce plan, et comptons les x et j

Fitî. 17.

sur les deux côtés qui comprennent dans leur angle le point donné. Désignons par a et b les coordonnées de ce point qui est le centre du cercle, et par R son rayon. La condition géométrique qui détermine tous les points du cercle est facile à énoncer, mais sa traduction en équation ne l'est pas autant. Nous avons reconnu en effet précédemment que l'expression de la distance de deux points prenait plusieurs formes différentes, suivant la position relative de ses extrémités, parce que cette distance est Thypoténuse d'un triangle dont les deux côtés de l'angle droit sont tantôt la différence et tantôt la somme des coordonnées des extrémités. En égalant à R l'expression de cette diS' tance, on pourrait donc être obligé de faire usage de plusieurs équations pour qu'aucune partie du cercle ne fût

Il6 ÉTUDE DES COURBES.

omise. C'est ce qui arrivera si ce cercle n'est pas tout entier renfermé dans le même angle que le centre. Si, par exemple, il coupait les deux axes des deux côtés de l'origine aux points B, C, D, E, on aurait quatre formes différentes pour l'équatîon, se rapportant respectivement aux points des quatre parties BC, CD, DE et EB. Mais par la discussion approfondie que nous avons faite précédemment de l'expression de la distance de deux points^ il a été démontré qu'une seule forme peut convenir à toutes les positions des extrémités, soit de Tune par rapport à l'autre, soit même par rapport aux axes. Le moyen de généraliser ainsi cette formule a consisté à l'établir d'abord en supposant tous les points dans le même angle des axes, auquel cas les deux côtés du triangle rectangle sont les différences des coordonnées des extrémités, puis à regarder comme implicitement négatives les coordonnées qui changeront de direction.

Ainsi X et j désignant les coordonnées d un point quelconque de la partie CD du cercle, les deux côtés OP, MP seront les différences x — a^ j — i, ou a — a?, b — j % et le carré de la distance sera x' — 2 ax -+- a} -^-y^ — 'i-hj — i* ou [x — a)* + (jK — ^)*î ^^ entendant que quand x — a ony — h seront négatifs, on effectuera toujours les calculs d'après les règles des signes démontrées pour les quantités non isolées.

On aura alors pour l'équation générale de tous les points du cercle

(i) . ^a^-aY^[y-hY = -ï^},

à la condition que les coordonnées négatives seront portées en sens contraires de celui qu'elles avaient dans la figure qui a servi à trouver cette équation, c'est-à-dire sur les prolongements des axes AX, AY.

La généralisation, antérieurement faite, de la formule de