CHAPITRE PREMIER. II

la distance de deux points a donc permis de renfermer tous les points du lieu dans une seule équation qui est nécessaire et suffisante, qui comprend toutes les solutions et n'en renferme pas d'étrangères.

Cette équation (i) est donc V équation générale du cercle,

84. Équation du lieu des points tels, que le rapport de leurs distances à un point et une droite donnés soit constant.

Cette question va montrer encore qu'une condition géométrique générale ne s'exprime pas toujours naturellement par une seule formule, mais qu'il est besoin d'en considérer plusieurs, que l'on peut faire rentrer dans une seule par les moyens déjà employés.

Prenons pour origine le point donné A (fig. i8), pour

Fig. 18.

axe des x la perpendiculaire ABX à la droite donnée BD, et pour axe des y une perpendiculaire A Y.

Soit AB = a, m le rapport donné, et considérons un point quelconque M du lieu; la condition donnée s'exprimera par l'équation générale

AM = /w.MP.

Il ne reste plus qu'à remplacer AM et AP par des fonctions de l'a: et de Vj du point M.

I I 8 ÉTUDE DES CODRBES.

On a d'abord

Quanta MP, son expression aura trois formes diflerenles suivant que M sera entre A Y et BD, ou à droite de BD, ou enfin à gauche de AY.

Dans le premier cas on aura

dans le second

MP :=x — a;

et enfin dans le troisième

MP = a -f- x.

L'équation (i) se trouve donc remplacée par les trois suivantes :

y/^^ -f- j2 = yw (a — j:),

yx^ -h y^ =1 m (x — a),

soit que le point M soit pris au-dessus ou au-dessous de AX.

Si on rend ces équations rationnelles, en élevant les deux

membres au carré, elles se réduiront aux deux suivantes :

(2) X» -f- jri = m^{a — x)\ x^ -i- y^ = m* (a-^x)-.

Et comme elles ne diflerent Tune de l'autre que par le signe des puissances impaires de x, on voit qu'on peui se borner à la première, en entendant que* lorsqu'on y donnera à x une valeur positive, on la portera dans le sens AX, et que lorsqu'on y mettra pour x une valeur négative, que l'on traitera suivant les règles des signes, démontrées dans le cas des polynômes seulement, on la portera du côté AX', et la valeur de y que donnera l'équation construira un point du lieu en la portant au-dessus ou audessous de Taxe des x.