CHAPITRE PREMIER. l4l
101 . Équation polaire de la spirale logaritlimique. Celte courbe est définie par la condition que les rayons vecteurs varient en progression par quotient, lorsque les angles varient suivant une progression par différence, et dans un sens déterminé.
Prenons pour pôle le point donné A (fig* 28) ; supposons qu'on donne un point B de la courbe, et prenons l'axe
Fig. q8.
dans la direction AB. Pour compléter les donnces, nous admettrons qu'on connaisse un second point C de la courbe, au moyen de Tangle CAB et de la longueur AC que nous désignerons respectivement par a et by et supposons que le sens du mouvement soit celui de AB vers AC, dans toute retendue du lieu.
Si nous partageons l'angle a en un nombre quelconque m de parties égales, et que nous les portions indéfiniment au delà de AC, il sera facile de trouver pour toutes les valeurs de cy qui correspondent à ces directions, l'expression générale de rayons vecteurs en progression par quotient, dont ABct AC feront partie.
Soient en efîet n un nombre quelconque de subdivisions de a, cy l'angle, et r le rayon vecteur correspondant AM.
La raison de la progression par quotient sera i/ -> et par
conséquent AM ou r sera égal à «iy (-)
ou a i -
l42 ÉTUDE DES COURBES*
Posant donc — =9. on aura
ou, en posant ( - | :
équation indépendante du nombre des subdivisions de a, qui peuvent être supposées aussi petites que l'on voudra ; de sorte que y peut être regardé comme variant d'une manière continue. L'équation que nous venons de trouver entre /• et cy est donc celle du lieu demandé.
On voit que les angles f sont les logarithmes des rap-
ports -î dans la base c, et c'est pour cela que l'on a donné
à cette courbe le nom de spirale logarithmique. Si ( - ) est
plus grand que i, les valeurs de r vont en croissant indéfini ment avec y: on aura c^i, et la courbe se composera d'un nombre infini de spires dont les points s'éloigneront indéfiniment du pôle à mesure que l'angle (f augmentera. Si
l'on avait ( - | <^ i, les rayons iraient au contraire en diminuant indéfiniment^ le nombre des spires serait encore infini, et leurs points se rapprocheraient indéfiniment du pôle sans jamais y arriver.
Enfin si - = I , on aura - = i , ce qui donne un cercle a a ^
de rayon a,
