CHAPITRE PREMIER. iSp

tité constante dont ]e point se déplace sur cette droite, pendant qu'elle se déplace d'un angle égal à l'unité, en prenant pour mesure des angles au centre le rapport des arcs interceptés au rayon.

Soient B (^g» 27) la position du point sur AU, et M une autre position quelconque, on aura, en faisant AB =1 a ei

Fig. 27.

supposant que le point mobile s'éloigne de A, (i) r-"a-f- bf

Cette équation aura lieu évidemment pour toutes les valeurs de f , depuis zéro jusqu'à l'infini ; mais elle ne représente pas les positions du point antérieures à son arrivée enB. Pour les obtenir il suffit de prendre au-dessous de AU des rayons diminuant uniformément^ de manière que b soit la diminution pour l'unité d'angle. Désignant par cf' les angles comptés à partir de AU dans le sens opposé aux angles cp, l'équation qui liera ces nouveauTC points sera

(2) r==fl — 6f,

et par conséquent l'équation (i) suffirait pour représenter encore celte partie de la courbe, si on y donnait à y des valeurs négatives, et qu'on les portât en sens contraire des valeurs positives à partir de l'origine AU. Cependant l'équation (2) ne construira les points du lieu que tant que Acp' ne surpassera pas a; elle ne pourra être employée que jusqu'à la valeur particulière (fi telle que &<fi = a, et qui donnera r=o, La droite mobile sera alors dans la

l4o ÉTUDE DES COURBES.

posilion où elle était lorsque le point, en mouvement sur celte droite depuis un temps indéfini, passait par le point fixe.

Il rcsie encore à trouver l'équation du lieu des points correspondants aux positions antérieures, qui correspondent à y']>?i. Ces points se trouvent en arrière du point A sur la droite que nous faisons rétrograder parles valeurs croissantes de cp' ; et leurs distances à A augmentent toujours dans le même rapport avec les accroissements de l'angle. En les désignant par /•' on aura donc

r' r=z b [ff^ — ç, ) =: 6 <p' — a.

On voit donc que l'équation (2) les produirait en portant la valeur négative a — b(f' dans le sens opposé à celui qui correspondrait à l'angle y'. Donc aussi l'équation (1) les fournira en donnant à ç des valeurs négatives indéfiniment croissantes, portant dans le sens direct les valeurs de r lorsque l'équation les donnera positives, et en sens contraire lorsqu'elle les donnera négatives.

On voit par cet exemple que la considération des quantités négatives peut quelque fois servir à généraliser dans un système de coordonnées polaires, aussi bien que dans un système de coordonnées reclilignes, et permettre de n'employer qu'une seule équation, au lieu de plusieurs, pour représen- *" ter les diverses parties d'une même courbe. Et le procédé est toujours le même ; il consiste à porter dans des sens opposés, les lignes que l'équation donne avec des signes contraires. Ces deux sens sont clairement indiqués dès que l'angle (f est connu; ils le sont aussi bien que sur les axes fixes de coordonnées rectilignes; et Ton ne peut s'expliquer par quel incroyable préjugé quelques savants ont pensé que les lignes tournantes ne devaient être considérées que dans leurs valeurs absolues.