CHAPITRE II. l

valeurs de j^ deviennent imaginaires, et alors le lieu est interrompu. Il pourra renaître ensuite, si les valeurs re» deviennent réelles, et cela pourra se produire un nombre de fois quelconque : de sorte que le lieu total de l'équation pourra se composer de plusieurs lieux, séparément continus, mais entièrement isolés les uns des autres. Pour être sûr de n'en perdre aucun, il sera" nécessaire de considérer les valeurs positives de x croissant indéfiniment depuis zéro, puis de revenir à zéro et donner à x des valeurs négatives indéfiniment croissantes. En construisant pour chacune de ces valeurs de x toutes celles que l'équation fournit pourj^, on est certain d'avoir la construction complète du lieu de l'équation

Nous examinerons d'une manière spéciale les circonstances importantes que peut comporter la discussion des lieux; nous n'avons voulu ici qu'envisager sommairement le moyen de reconnaître l'existence du lieu, et les diverses parties séparées dont il peut être composé.

105. Des points communs à deux lieux dont on a les équations.

Si un point se trouve à la fois sur ces deux lieux, ses coordonnées doivent satisfaire à l'équation de l'un et de l'autre de ces lieux; et réciproquement, tout système de valeurs de x elj qui satisfait à ces deux équations construit un point qui est sur l'un et l'autre lieu. Le problème géométrique de l'intersection de deux lieux correspond donc dans la science des nombres à la recherclie des solutions réelles communes à deux équations; et réciproquement.

106. Nous avons prouvé l'existence d'un lieu continu entre deux valeurs a, ft, de x^ telles que toutes les' valeurs intermédiaires en donnaient de réelles pour y. Mais s'il n'y avait qu'un nombre limité de valeurs de x qni en

lO.

l48 ÉTUDE DES COURBES.

donnassent de réelles pour j^, le lieu se composerait d'un nombre limité de points isolés, correspondant à ces solutions réelles de l'équation. Si, par exemple, F (a:, y) était la somme de deux carrés, l'équation serait de la forme

et ne pourrait être satis^^ite que si Ton avait à la fois

ce qui ne donnerait en général qu'un nombre limité de solutions, et par conséquent un nombre limité de points pour le lieu de l'équation.

Enfin,siF(j:,j^) était la somme de trois carrés, il faudrait trouver des valeurs de a: et j^ qui les annulassent séparément tous les trois, ce qui serait le plus souvent impossible : il n'y aurait alors aucun point qui satisfit et l'équation n'aurait aucun lieu.

107. Classification des équations dans un système de coordonnées rectilignes.

On partage d'abord les équations en algébriques et en tra nscendantes .

On appelle algébriques celles où les variables xeljne sont soumises qu'aux opérations qu'on nomme algébriques^ et qui sont Taddition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines.

On appelle. transcendantes celles où les variables entrent comme exposanits, ou sous les indices de logarithmes ou de fonctions trigonométriques.

Les équations algébriques étant supposées débarrassées de tous les radicaux, et tous les dénominateurs variables étant chassés, se classent suivant leur degré, qui se mesure par la plus forte somme des exposants de a*, y, dans les divers termes de l'équation.