CHAPITRE II

et y qui satisfont à Téquation, à la condition de les porter sur les axes dans le sens opposé à celui qui a été choisi pour les solutions positives. Dans plusieurs questions étudiées précédemment, nous avons vu que c'était à cette condition qu'une équation unique représentait tous les points du lieu : il est évident alors que si Ton veut construire tous les points du lieu au moyen de cette équation, il faudra employer toutes ses solutions réelles, positives ou négatives, et n'excepter que ses solutions imaginaires, puisque Ton a bien établi que tous les points correspondaient aux solutions réelles seulement.

Dans le second cas, on se propose de construire des points d'après une équation qu'on s'est donnée arbitrairement,- et on est tout à fait maître de s'imposer les conditions qu'on voudra. On pourra se borner aux points dont les coordonnées seraient les solutions positives seulement, ou aux points dont les coordonnées seraient uniquement les solutions négatives, ou encore dont les x seraient positifs et les^ négatifs, et réciproquement. Rien n'empêchera l'opérateur de construire des points d'après les solutions imaginaires de l'équation, en les employant de la manière qui lui conviendra. Tout sera permis, en un mot, puisque ce sera une simple question de fantaisie. Il n'y aura alors aucune difficulté à se proposer sur l'interprétation des solutions. Celui qui s'en ferait et croirait les lever, se ferait illusion à lui-même : il serait la dupe d'une apparence de solution pour une question mal posée.

Ce second cas donc ne mérite pas un examen sérieux; il ne peut être regardé que comme un simple amusement à l'occasion d'une équation, et n'aurait de scientifique que l'apparence. Nous devons nous borner au cas où l'origine, ouïes données de l'équation, fixent d'une manière précise l'usage que l'on doit faire des diverses formes que peuven t affecter les solutions de l'équation.

l46 ÉTUDE DES COURBES.

Les moyens de généralisation que nous emploierons par la suite pour la représentation de tous les points d'un lieu par une seule équation, ne consisteront que dans la considération des signes H- et — attachés, comme nous l'avons fait jusqu'ici, aux deux directions opposées des coordonnées prises à partir de l'origine sur chacun des axes, ou du rayon vecteur sur la ligne déterminée par Tangle 9. C'est pourquoi nous ne tiendrons aucun compte des solutions imaginaires, et nous ferons des solutions négatives un usage conforme aux prescriptions de la question. Quelles qu'elles soient, les méthodes de discussion n'en seront pas mqdifiées, puisqu'il ne s'agira que de négliger les solutions négatives, ou bien de les porter d'un autre côté bien déterminé.

104. Une équation unique représente généralement un lieu continu.

Supposons qu'entre deux valeurs a, è, toute valeur prise pour X détermine une valeur réelle de y donnant lieu à la construction d'un point, c'est-à-dire positive si Ton doit rejeter les solutions négatives, et de signe quelconque si on doit les accepter en les portant en sens opposé. Dans ce cas, si le premier membre de l'équation

est une fonction continue de x et y^ il est facile de voir qu'en faisant croître x d'une manière continue de a à i, la fonction y variera aussi d'une manière continue, soit qu'elle puisse s'exprimer en x au moyen des fonctions simples admises dans le calcul, soit que l'on doive se borner aux procédés d'approximation relatifs aux racines des équations à une seule inconnue. Les points construits ainsi se suivront donc d'une manière continue.

Il est possible qu'à partir d'une certaine valeur de x les