CHAPITRE m

DE LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. - GÉNÉRALISA- TION DES FORMULES AU MOYEN DES QUANTITÉS NÉGATIVES.

108. Les équations qui expriiQeiit des conditions géoiné> triques dépendent beaucoup du système de coordonnées auquel les points sont rapportés 5 elles peuvent être très-compliquées dans un système, et très-simples dans un autre. Le choix n'en est donc pas indifférent*, et lorsqu'il a été fait d'une manière désavantageuse, ou lorsque la généralité d'une question a demandé qu'il fût pris d'une manière indéterminée, il peut être bon, quand on en vient à particulariser la discussion, de chercher si le système primitif de coordonnées ne pourrait pas être utilement changé en d'autres plus appropriés aux conditions spéciales des diverses questions auxquelles on serait ramené.

Quelles que soient, au reste, les raisons qui peuvent porter à faire ce changement^ la question que l'on se propose se ramène à celle-ci : Tromper deux équations entre les coordonnées d^un point quelconque dans un système^ et ses coordonnées dans un autre ^ car en substituant dans une équation quelconque du premier système, aux coordonnées qui y entrent, leurs valeurs tirées de ces deux relations, on aura une équation entre les coordonnées des mêmes points, dans le nouveau système.

Si on avait l'équation d'un lieu, on en aura une différente, mais qui représentera identiquement le même lieu, et dans la même position ; il n'y aura de changé que le mode de détermination de ses points.

CHAFIXRE III. l5l

Si, au contraire, les points considérés sont eu nombre limité, et que leurs coordonnées doivent être entièrement déterminées, on aura encore ces mêmes points à la même place ; seulement ils seront donnés au moyen de coordonnées d'une autre espèce qui seront déterminées par les équations obtenues par la substitution des valeurs trouvées pour les premières en fonction des secondes, d'après les deux relations entre ces quatre quantités.

Nous allons examiner les cas les plus importants auxquels cette question générale peut donner lieu.

109. Formules pour passer d'axes quelconques à des axes parallèles.

SoieutAX, AY {fig- 29) les axes du système donné; et Â'X', A'Y' ceux auxquels on veut rapporter les points et

Fis- îQ.

qui sont parallèles aux premiers, et respectivement dans le même sens; a et b les coordonnées AB, A'B de la nouvelle origine. Désignons par x, y les coordonnées d'un point quelconque M dans le premier système, et par x', y' ses coordonnées dans le second.

n s'agit d'exprimer généralement, si cela est possible, xetj en fonction de a;', j^'. La discussion étant absolument semblable pour \qsj que pour les x, nous nous bornerons à celle-ci.

Supposons d'abord que le point B soit sur le prolongement AX, sur lequel on porte les valeurs positives, et que

iSa ÉTUDE DES COURBES.

le pied Q de l'ordonnée j^' tombe du côté A'X' sur lequel on compte les x' positifs, A'X' étant supposé dans le même sens indéfini que AX.

Il est évident qu'on aura

tant qu'on restera dans ces conditions.

Si maintenant le pied de y* se trouve en Q' entre A' et C, on aura

CQ' = /7 — A'Q' ou xzz^a — È^Ç^.

Donc, si l'on veut que la formule (i) s'applique à cette nouvelle disposition, il faudra y regarder a:' comme désignant — A'Q'.

Enfin, si le pied de l'ordonnée y' tombe en Q'', ei le pied P'^ de ly sur le prolongement AXi opposé à AX, on aura

AP"r=A'Q'— fl ou — AP''zr:— A'Q'+^/;

donc la formule (i) s'appliquerait encore à cette position du point M,si l'on entendait que x est remplacé par — AP^', et x'par — A'Q'.

Donc, enfin, la formule (i) conviendrait à toutes les positions du point sur le plan, à la condition que les x elx' y seraient regardés comme de simples nombres quand ils seront portés sur les directions respectives AX, A'X', et comme des ûombres affectés du signe — quand ils seront portés dans les directions opposées.

Il ne reste plus qu'à examiner le cas où l'origine A' aurait son abscisse du côté AXi.

Il faudra recommencer avec cette nouvelle position du point B la discussion que nous venons de faire.