CHAPITRE III. l

Soient B {fig» 3o) le pîed de l'ordoniiée de A', et M un )OÎnt tel, que le pied de son ordonnée y tombe du côté AX ^ on aura x = x' — AB, formule différente de (i)* mais qui

Fig. 3o.

y rentrerait si dans celle-ci on remplaçait a par — AB. Les autres positions de M conduiraient à la même remarque. Donc l'équation (i) convient à toutes les positions des points du plan^ et de la nouvelle origine elle-même, en entendant comme nous venons de le dire les signes de a:, x', a.

La discussion serait entièrement la même pour lesy ^ de sorte qu^on peut dire que les relations entre les anciennes coordonnées et les nouvelles, sont exprimées par les équations générales

à la condition que ces six quantités seront considérées comme positives dans un sens, et négatives dans Tautre.

Si l'axe des x' était dirigé en sens contraire de l'axe des X, on verrait facilement que la formule générale entre X et x' serait x = a — x' au lieu àe x =i a -\- x' \ de sorte que les formules (2) seraient changées en

Et de même si Taxe des y' était dirigé en sens contraire de Taxe des j^ la seconde des formules (2) se changerait en

HO. Changement de direction des axes autour de la même origine.

Supposons que les points d'un plan aient été rapportés d'abord à un système d'axes rectangulaires, ce que l'on fait ordinairement quand aucun système oblique ne semble oflfrir des avantages spéciaux. Il peut arriver que l'on espère des simplifications en prenant de nouveaux axes dans des directions différentes \ et pour faire Fessai de la manière la plus complète, on ne doit pas d'avance les assujettir à être rectangulaires. Il est d'ailleurs inutile de compliquer cette nouvelle question du changement de l'origine, puîsqu'en vertu des formules précédentes ce changement se fera avec la plus grande facilité, soit avant, soit après le changement de direction.

La question que nous avons à résoudre est donc celle-ci :

« Trouver deux équations entre les coordonnées x, jr » d'un point quelconque par rapport à deux axes rectan- » gulaires, et ses coordonnées x', j' par rapport à des axes » quelconques ayant la même origine. »

Soient AX, AY (fig< 3i) les directions du sens positif des premiers axes -, AX', AY', les directions positives des

Fig. 3i.

nouveaux; a l'angle que fait la direction AX' avec AX en tournant autour de A à partir de AX jusqu'à ce que la direction mobile coïncide avec AX', quelle que puisse être la valeur de cet angle; a' l'angle formé de même avec AX^par la direction mobile quand elle vient coïncider avec AY'.