CHAPITRE XII

216. Dernier EXEMPLE. — On donne deux points A ^ B ' fig- A9) <?' une droite indéfinie X\. Deux angles de grandeurs constantes ont leurs sommets en A et B, et deux

tle leurs côtés se rencontrent en un même point de XY; SI l'on suppose que ce point se déplace d' une manière continue, le point de rencontre des deux autres côtés décrira une courbe, à laquelle on propose de mener la tangente.

SoienlM un point quelconque de la courbe correspondant au point de rencontre N des deux côtés AN, BN des angles donnés XAM, XBM. Nous regarderons les longueurs AN, BN, AM, BM comme connues, ainsi que tous les angles qui en dépendent, parce que toutes ces grandeurs sont déterminées par celle de CN.

Le point N passant à une position infiniment voisine N', le point correspondant M' de la courbe sera infiniment voisin de M, et il s'agit de déterminer la limite de la direction de lasécanle MM'. Comme dans quelques-uns des problèmes précédents, la question revient à trouver les limites des angles du quadrilatèreMIM'H, et du rapport des deux côtés contigus MU, Ml.

Or, les angles II et I tendent évidemment vers celui que

2J2 ÉTUDE DES COUHBES.

forme un des côtés MA, MB avec le prolongement de

l'autre; leurs limites sont donc connues, et il ne reste plus

,. . 1 1- • 7 MH

qu a connaître la limite du rapport -rrr-

Remarquons d'abord que, d'après les conditions de la question, les angles M'AM, M'BM seront respectivement égaux à a et 6. On aura alors

MH sina MI sine

MÂ^sh^ï' MB^inn'

d'où

MH MAsinasinI

Ml MBsingsinH

et par suite, en observant que sini et sinH ont même limite, '

MH MA ,. sina

'"" Mr= MB ''"ihTi-

Le problème est donc ramené à trouver la limite de

^; — z : et il suffira pour cela de faire usage des deux triangles sinb ' ° °

ÂNN', BNN', qui donneront

sina N^' sin j5