Si k --= o, l'équation se réduit à v ^ — ^tt^ et re

equaluju sera

|)résente une parallèle à l'axe des x., et par un procédé analogue on trouverait les asvmptotes parallèles à l'axe des I .

Si l'on a f\k)--- o, l'équation de l'asvmplote sera r = kx et représentera une droite passant par l'origine.

Si F'(A)=o sans qu'on ait/(A)^o, l'équation (5) est impossible, et il n'v a pas d'asvmptote correspondant à cette valeur de k.

Si Ton avait en iui'mic temps F'(/.).-o, J\k)^= O, l'équation (6) ne déterminerait pas /. Pour en trouver la valeur, il faut introduire ces deux conditions dans l'équation (4), qui, divisée par x"'-'-, donne pour termes indé-

chaimthe xiir. 299

pendants de x

Les autres renfermant x au ilénominateur aiironl /.( ro imur limite, et la valeur limite /de t satisfera à ri^iuatioii

qui peut présenter encore divers cas pailiciiliers, dont la discussion ne peut offrir de di(fieult(''s.

242. Xous avons \u que les «''quations des asymptotes parallèles à l'axe des x élaienl renfermées dans la formule; générale (6). Mais il est plus simple de les trouver directement, et le même procédé s'a|)p!iqiiera aux asvmptotes parallèles à l'axe des v.

En ordonnant l'équation de la courbe par rapport à ./•, on la mettra sous la forme

Si l'on divise par j?™ et qu'on fasse croître ./; indéfiniment, les valeurs de y restant finies, elles tendront à rendi'e F( v) égal à zéro.

Si donc on désigne par /, /', /', . . . les racines réelles de l'équation

les é(piations d'asymptotes parallèles à l'axe des x seront

Pour avoir les asymptotes parallèles à l'axe des x. on ordonnerait l'équation de la courbe par rapport à )•; et si F(jr) désigne le coefficient de la plus forte |)uissance de r, il suffira de poser

et si a, a', a", . . . sont les racines réelles de cette équation,

3oO ÉTIDE DES COrUBES.

Ifs équations des asymptotes parallèles à l'axe des y seront X = a, X = a', J" = a", ....

Exemples divers.

243. Prenons d'abord pour exemple l'équation du second déféré

o )- -- lixr -i- cX' ~ dy - <>.'•-/'= o. On a dans ce cas

l" ( /. I ap- - - bp — c = o, F'ip) -- -xap- b, f { p) = dp - e.

Les valeurs de k seront donc les racines de l'équation

ak- hk — f = o :

elles seront imaginaires si Ton a b- — \ac < o, ce qui est

le cas de l'ellipse, qui en effet ne peut avoir d'asvmptote,

puisqu'elle n'a pas de brandie infinie.

Si l'on a b- — /\(ic <C o, ce qui est le cas de l'hyperbole.

, — h-^Jb- — irtc , , ,, • - 1

on aura /,■ = — valeurs réelles, ineajales el

différentes de — — ■

Les deux asymptotes seront renfermées dans l'équation

dk -^ e

y = kx

■la

et il n'y aura aucun cas d'impossibilité, puisque l'on ne pourra avoir iak -\- b ^= o, vu qu'il en résulterait

Mais si b- — Aac ---= o, on a /: = > iak 4- ^ ^ o, el

le terme tout connu de l'équation (6) serait infini. Ainsi, dans ce cas, qui est celui de la parabole, les brandies infinies n"oTil jias d'asvmptote.