CHAPITRE XIII. 30I

2ii. Considérons mainlenanl la courbe qu'on appelle lejblium de Descartes, et dont réqualion csl

y^-i- x^ — 3 « :iy = o ;

il n'y a pas d'asvmptolcs paraiièlcs au\ axes, puisqu'on ne j)eul égaler à zéro le coefficient de la plus haute puissance de r ou tic ./;.

!.«'> (onctions que nous avons désignées par

sont, dans le cas actuel,

p^-\, 3/»-, — 3fl/).

La valeur de /■ est la racine réelle unique de l'équation

laquelle est — i. L"é(juation de l'aïNiuptolc unique de cette

courbe sera donc

2io. Exemple ou l' équation (6) ne reprcsenle pas une asymptote. — Nous avons dit qu'il ne suffisait pas (pie les

limites de — et de v — kx fussent réelles et finies pour que

l'équation (6) représentât une asymptote; inais qud fallait en outre que les valeurs de )' fusseni réelles quand x croît indéfiniment, c'est-à-dire qu'il y eût une liranche infinie réelle. Nous allons montrer par un exemple la nécessité de s'assurer dans chaque cas qu'il en est ainsi. Soit

l'équation

x''(y — a)- — bx- — c = o.

En appliquant la règle pour trouver les asymptotes parallèles à l'axe des x, on posera

iy — af = o, ou y = a.

Maintenant il faut s'assurer si r reste réel quand x croît indéfiniment. Or l'équation donne

et cette valeur est réelle, quelque grand que soit x, si b est ])0silif ; mais elle est imaginaire depuis une certaine valeur de X, si b est négatif. Dans le premier cas, l'équation y = a est celle d'une asymptote ; elle ne l'est pas dans le second.

DIVERS ORDRES D 'iXFlXI.IIE^T PETITS.

iiU). Dans toutes les questions où l'on considère des limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits, on |)eut altérer ceux-ci de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes, sans que les limites, et par conséquent les solutions, soient en erreur. Il importe donc de faire un classement régulier des infiniment petits, et de poser à cet égard quelques théorèmes généraux relatifs à des cas simples qui se présentent fréquemment.

Nous dirons d'abord que deux infiniment petits sont de même ordre, lorsque leur rapport a une limite finie. Et en ne considérant d'abord que les questions où il n'y a qu'une seule variable indépendante, et où la valeur d'un infiniment petit entraîne celle de tous les autres, le premier ordre infinitésimal comprend tous les infiniment petits (lu même ordre que celui que l'on a choisi pour indépendant.

Le second ordre comprend tous ceux dont le rapport à l'infiniment petit indépendant, ou à tout autre du même ordre, est un infiniment petit du premier.

Le troisième ordre comprend tous ceux dont le rapport à un infininit ni petit du second est un infiniment petit du premier.

CHAPIUKE XIII. 3o3

El généralement le n'''"' ordre comprend tous ceux dont le rapport à un inflniment petit du (n — i)i''nif ,,^1 infiniment petit du premier.

D'après cela, il est facile d'exprimer par des formules générales les infiniment petits de tous les ordres, en fonction de celui qui a été choisi comme indépcndanl.

En effet, si l'on désigne ce dernier par a. ri par /, la limite du i-apporl d'un autre infiniment petit à celui-là. 7.(/i- — w) exprimera la valeur du second, to étant infiniment petit. Ainsi l'expression générale des infiniment petits du second ordre sei-a

.Maintenant tout infiniment petit du second ordre avant un rapport du premier ordre avec tout infiniment petit du premier, par exemple avec a, sera le produit de a par a(A" -|- w), /.- étant un nombre fini quelconcpie et a infiniment petit. La formule de tous les infiniment petits ilu second ordre sera donc

En continuant ainsi, on arrivera, pour tous les infinimcn! petits de l'ordre /i. à l'expression générale

Les divers ordres d'infiniment petits sont donc proportionnels aux puissances de l'infinimenl |)etil in<lépendanl. Entre deux ordres entiers consécutifs il ^ a uni! infinité d'ordres fractionnaires, correspondant aux exposants intermédiaires entre les deux entiers consécutifs; mais ils se rencontrent moins souvent.

Nous allons donner quelques exemples géométriques simples d'infiniment petits de divers ordres, et quelques propositions qui sont d'une application fréquente.

3o4 ÉTUDE DES COURBES.

TRIAXGLES INFINIMENT PETITS.

247. i" Supposons un triangle ABC dont les trois angles tendent vers les limites a, 6, y et les trois côtés a, b, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles a, ê, v.

Ainsi, par exemple, on a les équations exactes

a sinA ,. a sina b sinli b siiio

.Mais il II V a aucun inconvénient à écrire

a sina sina

V = -;^s ou a = b — — ^; 0 sino sino

si a est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on

cherche la limite; car -=-' ayant pour limite '-r—p^ en dilTère b •' ^ sinb

d'une quantité infiniment petite lo, et l'on a

a sin a h ?in a

= —. — p - - tu ou « = — .— „ -I- 0(0. b sino sino

... 1- ] I .. 6 sina

Ainsi, en prenant, au lieu de a, la partie -^-«- > on ne-

' r '1 sinb

glige une quantité infiniment petite par rapport à a, ce qui, dans la question supposée, ne donnera aucune erreur dans les résultats.

Or il V a souvent beaucoup d'avantage à substituer ainsi les angles limites aux angles variables, comme nous le verrons par quelques exemples.

2° Dans un triangle ABC dont l'angle A tend vers un angle droit et les côtés vers zéro, on peut calculer le côté a par la formule

au lieu de la lormule exacte

a- — b- -;- c- — 'ibc cos A.