CHAPITRE XIII

Or on a

AC ^ AI := , — et BC — BI

cosA cos B

cl la somme de ces deux difTérenccs est la différence cherchée. Mais chacune d'elles est un infiniment petit du troisième ordre au moin--, puisque AI et BI sont moindres que

vn (jiii est du iireinier- ordre, et que siti- - et sin- - sont

du second ordre. Ou peut même dire qu'elles sont précisétiu'iit du troisième ordre toutes deux, dans le cas suppose où A et B sont du même ordre; car alors les deux segmenUs AI et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. Il résulte de là que la différence entre AB el A(] + CB est un injininicnt petit du troisième ovdre au moins.

Ou, en d'autres termes, cette différence est du même ordre que le cube de AB.

L'ordre de cette différence s'élèverait si les angles ('taieiii d'un ordre plus élevé que le côté; il s'abaisserait dans le cas contraire.

2oI. Triangle ayant un. angle infiniment petit du premier ordre, compris entre deux côtés infiniment petits du premier ordre.

Soit A ifig. 56) langle donné; la somme des deux

Fii;. 5(1.

autres a pour limite deux droits. On peut mainlenanl faire plusieurs suppositions sur les deux côtés donnés.

3lO ÉTIDE DES COUKBES.

Si Ja limite finie de leur rapport est différente de riinité, la somme des deux angles opposés ayant pour limite deux droits, l'un de ces angles tendra nécessairement vers zéro, l'autre vers deux droits. Car, sans cela, le rapport limite de leurs sinus serait nécessairement l'unité, contrairement à lu supposition.

Supposons maintenant que la limite de leur rapport soit l'unité. Il peut alors se présenter trois cas.

1° Si leur différence est du second ordre, prenons AB' = AB; B'C sera du second ordre. Mais BB' est du second ordre à cause du triangle isoscèle ABB', qui donne

BB' = 2 AB sin -; ainsi BC, opposé à l'angle obtus B', sera

du même ordre, et le rapport -t— ^ a une limite finie quelconque. Or l'angle B' tend vers un angle droit: donc l'angle B'BC, et par suite C, a une limite finie qui peut être quelconque, et dépend du rap|)ort de CB' à BB'.

2" Supj)osons que leur diflérence soit d'un ordre compris entre i et 2. Alors, BB' étant du second ordre, B'C d'un ordre moindre, et BC le plus grand côté du triangle BB'C, comme opposé à l'angle obtus B', il s'ensuit d'abord que BC est du même ordre que B'C, et même que leur rapport a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant moindre que BB', qui est du second ordre, est infiniment petite par rapport à ces lignes mêmes. De plus le rapport

jr;-^ avant zéro ijour limite, l'angle C tendra vers zéro, et,

par suite, l'angle ABC vers deux droits.

3" Soit la différence d'un ordre supérieur à 2. Alors -^r^,

a pour limite zéro; donc l'angle B'BC a zéro pour limite, et l'angle ABC a la même limite que ABB', ou un droit : il en est de même, par suite, de l'angle C.

Si l'angle A était d'un ordrequelconque/», au lieu d'être