CHAPITRE XIII. 3l I

du premier coinnie les côtés, il faudrait, dans ce ijui pr»-cèdo, substituer i 4- m à :>..

Ji(irnar(/ue. — 11 est bon de remarquer que dans ces trois cas, c'est-à-dire toutes les fois que le rapport des deux côtés donnes a pour limite l'unité, le troisième est infiniment petit par rapport aux deux autres, i/uel (pie soit ni.

INFiMÎIKNT l'KTITS CO.VSIDÉItÉS DANS LES COI RBES.

252. SoienlMiy/^. ôy) un point quclconqiied'une('Ourbe rapportée à des axes rectangulaires AX, A\ ; AP el .MP les

Fig. 5-.

coordonnées x,y de M ; PP' un accroissement infinimenl petit/i donnéàx; IM' l'accroissement correspondant / de )•; IMT la tangente à la courbe au point M; S son point de rencontre avec AX; O le point de la courbe à partir du(picl on estimera les longueurs des arcs.

Avant fait croître x de la quantité inliniment petite arbitraire PP' =A, qui déterminera le premier ordre infinitésimal, toutes les variables qui dépendent de x prendront des accroissements du premier ordi'c. Ainsi, en prenant pour ces fonctions l'ordonnée, la longueur de l'arc, l'inclinaison de la tangente sur l'axe des x, et menant en M' la tangente, qui coupe la première en R, leurs accroissements respectifs, M'I. MM'. lIîM'. seront du prcMiiier ordre.

C(;la posé, l'angle 'l'R-M', extérieur au triangle MRM',

3l2 ÉTUDE DES COURBES.

sera égal à la somme des angles à la base MM' ; d'où il résultera que, s'ils sont du même ordre entre eux, ils seront du premier ordre comme leur somme : et si l'on supposait que l'un d'eux iVit infiniment petit par rapport à l'autre (ce qu'on verra plus tard ne pas être), le plus grand des deux sera encore du premier ordre.

La corde MM' et la tangente MT seront encore des infiniment petits du premier ordre, puisque la limite du rapport de MM' à MI, ou PP', est la sécante finie de l'angle TMI, et ([Lie le rapport de MT à MI est celte sécante même.

2o3. Ordre de la différence de ï ordonnée de la courbe

el de celle de la tangente.

r ■ T.M' siiiTMM' ,

IjA proportion ttttt = ^— r„- donne

' 1 iMM sinT

Or MM' est du premier ordre; cl le sinus étant du même ordre (pie l'arc, puisque la limite de leur rapport est i, sin TMM' sera du premier ordre comme l'angle TMM' ; il en résulte donc que TM' est du second ordre.

Mais si l'on menait de M' une droite faisant un angle fini quelconque avec la tangente, la partie interceptée aurait un rapport'fini avec TM' ; de là résulte cette proposition :

Si par une extrémité d'un arc injinitnent petit du premier ordre on mène une tangente, et par l'autre extrémité une' sécante faisant un angle fini ijuclconque avec cette tangente, la partie interceptée entre la courbe et la tangente sera un infiniment petit du second ordre.

2oi. Di/Jérence d'un arc injiniment petit à sa corde ou à ses tangentes.

La lonLMicur d'un arc MM" est comprise entre la corde