CHAPITRE XIV

par conséquent, la limite du rapport de raccroisscmeiil du volume à /(, ou la dérivée du volume. c>l t. F (y)'- .

L'accrois.sement infiniment petit du \cilunie, dont l'expression exacte pourrait être trè.s cuniplujuéc, peut donc être remplacé, dans les cas où on ne calcule que des résultats dépendant des limites, par l'expression simple -F(,/-|i//.

DE LA COIRBLRE DAXS LES LIIINKS l'LAXES

263. On appelle courbure d'un arc fini l'angle des tangentes extrêmes. C'est la quantité dont la direction de la courbe dévie en passantd'une extrémité à l'autre; elle peut être regai'dée comme l'accroissement de l'angle formé par la tangente avec im axe fixe, quand le point do contact passe d'une extrémité à l'autre.

Dans un même cercle la courbure varie proportionnellement à l'arc; dans toute autre courbe, cette proportion n'a plus lieu. Mais quoique complicjuée que soit la loi suivant laquelle varie la courbure d'arcs, considérés comme croissant uniformément à partir d'un point d'une courbure quelconque, on peut obtenir la loi sinqde de l'uniformité comme dans le cercle, en no considérant (jne dos arcs infiniment petits.

En effet, désignons par s les arcs comptés à partir d'un point O de la courbe (Jîg. 5q) ; on pourra considérer l'in-

Fig. rii).

clinaison -i de la tangente sur l'axe des x, par exemple.

ffunme étant iinr fonclion de s que nous désignerons par F(.t).

Soit OM une valeur quelcon([ue de .s, et MM' un accroissement infiniment petit, que nous désignerons par // ; l'accroissement correspondant de cd sera l'angle TIT' des deux tangentes MT, M'T' ou la courbure de l'arc MM';

TIT' et la limite du rapport -rrjrr, sera la dérivée de F(s) par

rapport à .v.

Donc, d'après le théorème général surles accroissements

infiniment petits des fonctions, on aura

TIT' = ,MM'[F'{s) + (o|,

et, par conséquent, en négligeant le second terme MM', w, (|ui est infiniment petit par rapport au premier, on pourra prendre F'(.ç).MM' comme égal à la courbure de l'arc, sans qu'il puisse en résulter aucune erreur dans les résultats, qui ne dépendront que des limites de rapports ou de sommes. De cette manière, la courbure de l'arc infiniment petit MM' sera regardée comme variant proportionnellement à cet arc. On se trouve donc dans les mêmes conditions que si MM' était un arc d'un cercle qui, pour une unité de longueur, donnerait une courbure égale à F'(s) : et la considération des infiniment petits ramène encore la variabilité à l'uniformité.

2Gi. Cercle de couihiii'e. — Il était donc liés naturel d'appeler F'(^) la courbure au point M, rapportée à l'unité de longueur, et de prendre, pour la faire connaître, le rayon du cercle ((ui donnerait la même courbure F'(.v)MM' que la courbure proposée pour la même longueur MM'; ou encore qui donnerait F' (5) pour courbure de l'arc à l'unité.

Ce cercle s'appelle le cercle de courbure de la courbe au point M. Son rayon étant le rapport d'un arc (pielconque à l'angle des rayons extrêmes, (jui est égal à la courbure de