KXI'OSÉ S\:\0PT1QUE

d'examiner si les aiUres conduiraient exaclement à ces mêmes équations. Il en résulte que les formules obtenues, cl que l'on croit à tort applicables à tous les cas, peuvent indiquer des opérations impossibles, comme de soustraire un plus grand nombre d'un plus petit. Au lieu de remonter à la question elle-même pour établir les véritables équations qui conviennent au cas qui présente ces absurdités, il arrive souvent qu'on cherche à tirer parti de ces formes étranges, qui offrent des rapports séduisants avec les véritables résultats, comme, par exemple, la l'orme négative correspondant à un changement de sens. El on en peut venir ainsi à regarder à tort ces correspondances comme admissibles a priori, tandis qu'il est si facile d'introduire ces formes comme un moyen de généralisation rigoureusement démontré.

C'est ce que nous avons fait ressortir avec beaucoup d'insistance. Nous pensons que c'est avant de commencer le calcul que l'on doit distinguer tous les cas que comporte la question, et reconnaître s'ils sont renfermés dans un seul svstème d'équations. S'il en est ainsi, un seul système de formules suffira pour toutes les solutions de la question. S'il en est autrement, mais que deux systèmes d'équations soient tels, qu'on passe de l'un à l'autre en changeant de signe les termes où une inconnue x entre à des puissances impaires (ce que l'on peut exprimer en disant que l'on change x en — x, en suivant les règles des signes dans les polynômes), on reconnaît, en suivant les calculs dans les deux systèmes, que les équations correspondantes ne différeront l'une de l'aulic (pic par ce même changement, et que par conséquent la valeur de x tirée de l'un sera identique à la valeur de — x tirée de l'autre : de sorte que, si l'on trouve dans l'un x ^= a, on trouvera dans l'autre X = — «, et vice versa. On peut donc se dispenser de faire les deux calculs; car si celui qu'on a choisi (loiiiic

EXPOSÉ SYAOPTIQUE. 4^7

|ioui- une des valeurs de x un nombre résultant d'opérations possibles, il est inutile de faire l'autre (jui donnerait ce même nombre allecté du signe — , et renfermerait parcon- >é(nient des soustractions impossibles. El si Ton trouve pour X une expression négative, un suit que c'rst l'autre cas qu'il fallait choisir; et l'on connaît la \aleur tle j- ijui y convient, puisqu'elle doit être le nombre même qui a été trouvé, mais pris en valeur absolue. Les mêmes raisonnements peuvent être faits quel qu<' soit le nombif des inconnues.

Ces discussions étant laites avant de eoinmencer les calculs, et tout ce qui peut arriver étant pr/vu, les résultais ne surprendront nullement, et les formules provenant d'un seul calcul feront connaître sans difficulté celles (|ui correspondraient à tous les autres.

JVous avons choisi pour exemple un problème très simple, dont les cas, exlrêmemcnt variés, peuvent être renfermés dans un seul svslème d'équations, qui se généralisent par la considération des valeurs négatives, tant pour les données que pour les inconnues. Dans cette <]urslii)n il \ a à considérer les positions initiales de deux points mobiles, le sens de leurs mouvements el la grandeur de leurs vitesses : ce qui donne lieu à beaucoup de combinaisons difl'érenles, pour lesquelles il faudrait autant di- formules distinctes pour faire connaître l'époque et la position de leur coïncidence passée ou future.

La discussion à laquelle nous nous sommes livré, a\ec tout le soin el tous les détails que demandait une question prise comme premier exemple, nous a conduit à la pioposilion suivante :

à>i un l'uint se meut unijornwment sur une ligue donnée, depuis un temps indéjini, on peut représenter par une formule unii/ue sa position par rapport à une origine fixe prise sur celte ligne, à une époque antérieure ou postérieure

428 EXPOSlt SY.\OPTIQL'E.

h celle qui est prise jiour'origine des temps, aux conditions suivantes : 1" tfiie In lettie qui lepièsente le temps soit regardée cojnnie un nombre lorsque l' époque sein dans l' un des deux sens, par exemple dans l'avenir par rapport à l'origine des temps, et comme représentant un nombre affecté du signe — lorsqu'elle sera dans le sens opposé; 2° que les lettres qui représentent les distances, initiales ou iHiriables, à l'origine prise sur laligne, soient regardées comme de simples nombres d'un côté de cette origine et comme des nombres affectés du signe — , du côté opposé j 3° (/ne la lettre qui rej>résenle la l'itesse soit regardée comme un simple nombre qun/id le mouvement a lieu dans un sens, par exemple celui qui a été choisi pour les distances, et comme un nombre négatif quand il a heu en sens opposé.

Et il n'y a aucune rèf;le de signes à (J(''montrer, puisque la généralisation n'a été établie qu'à la condition expresse que ces quantités négatives seraient traitées suivant les règles des signes dans les polynômes, seul cas où elles aieni un sens.

Si l'on a plusieurs points, le mouvement de chacun sera déterminé généralement par une seule équation, et toutes les circonstances que peuvent présenter leurs positions r,^lalives seront représentées par des formules générales.

Ce procédé de généralisation s'applique aux (piestions les plus variées; les exemples que nous avons donnés suffisent pour le hien faire comprendre. Son importance se manifestera surtout dans les a]iplications du calcul à la Géométrie et ensuite à la Ah'canique ; mais il ne faut pas oublier que dans toute nouvelle question le droit de l'employer doit être démontré avec la même rigueur que dans les premières lb(''ories à l'occasion destpielles nous l'avons fait connaître.

Expressions iiiuiginnires. — Les écpiallons du second

EXPOSÉ SY>OPTtQtlF.. 4^9

(legrô préscnleiiL dans cerlains cas des foraies singulicTo.-» diiréreules de celles que peuveiil présenler les é([iiations du premier degré. Comme il eiilre des radicaux dans les formules auxquelles elles conduisent, il peut se faire que l'on soil amené à l'indication de la racine carré d'une expression négative; ce qui est une impossibilité autre que celle qui consiste dans une simple expression négative. Après avoir montré l'origine de ces nouvelles formes qu'on appelle imai^inaiies et comment il faut entendre les opérations à effectuer sur elles pour qu'elles satisfassent aux équations d'où elles proviennent, noas avons montré comment elles pouvaient être, comme les quantités négatives, lin mo\en de généraliser des formules. Ce n'est qu'en les eiuplovaiil qu'on peut, par exemple, énoncer cette proposition générale, que tout polvnùme entier est décomposable en autant de facteurs du premier degré qu'il v a d'unités dans son propre degré. Cesexpressions imaginaires, qui se présentent d'abord comme résultats et satisfont aux équations, en les traitant suivant les mêmes règles que les quantités réelles, peuvent aussi être utilement introduites dans les données, même à la condition de les traiter toujours de la même manière, et donnent lieu à des transformations et des découvertes importantes. C'est surtout l'application réciproquede la science des nombres et de la Géométrie (jui met en évidence les avantages de l'introduction des imaginaires, et nous les avons fait ressortir avec tout le soin que mérite cette raétbode, sibizarre, de déduction etde recherche : méthode aussi sûre que celles qui n'emploient (|ue des ([uantités réelles; dans laquelle tout est démontré avec une entiène rigueur, 'sans qu'il y ait rien à demander sur la manière de calculer ces imaginaires, puisque la manière de les traiter a été une condition expresse du leur introduction.

Par la manière dont nous avons introduit dans le calcul

43<i EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

les expressions négatives isolées, el soumises ou non à des radicaux du second degré, il n'y avait, comme nous l'avons dit, aucune règle à démontrer pour les opérations que l'on pouvait avoir à exécuter sur elles. Mais plusieurs grands géomètres ont pensé autrement, et ont cru pouvoir démontrer les règles a priori, et déterminer le rang que les quantités négatives devaient occuper dans l'échelle des grandeurs. Sur ce dernier point surtout ils ne se sont pas accordés; les nns ont voulu qu'elles fussent considérées comme plus petites que zéro, les autres s'v sont refusés. Ces idées, appuyées des noms de Laplace, d'Alembert, Carnet, nous ont paru mériter une réfutation raisonnée, et nous en avons fait l'objet d'un Chapitre spécial.

Extei2sio7i donnée aii.r exposants. — Les exposants, imaginés d'abord par Descartes pour simplifier l'expression du produit de facteurs égaux, ne pouvaient être ainsi que des nombres entiers. Les multiplications et les divisions des puissances d'un même nombre se réduisaient à des additions et des soustractions sur les exposants; les élévations à de nouvelles puissances se faisaient par la multiplication des exposants, et l'extraction des racines par leur division, quand elle était possible. Mais si les exposants étaient indéterminés, et ([u'on ignorât lequel est le plus grand, ou si la divisibilité est possible par le degré de la racine, on ne pouvait appliquer ces règles de la division ou de l'extraction des racines ; car elles auraient conduit dans l'un de ces eus à un exposant ni''gatif, et dans l'autre à un exposant fractionnaire. 11 était donc naturel de cherchera remédier à cette imperfection, et c'est ce que l'on a fait en donnant une double extension aux exposants, et tes considérant comme pouvant être des nombres quelconques, positifs ou négatifs. La définition plus générale à laquelle on a été ainsi conduit ofiVe l'avantage de représenter par une même notation lespuissances et les racines, ainsi queles récipro-

Kxi'osÉ sy»\<)ptiqi;k. - 43 1

qiics des unes ou des autres. Par ce moyen une seule formule en remplace plusieurs; el do plus il y a, comme dans toules les «çénéralisalions, agrandissemenl pour l'esprit, puisqu'on lui fait connaître ainsi les analoj^ies qui cxistenl entre des choses qui semblaient isolées, et qui ne sont que des variétés d'une même chose à laquelle il suffira de s'allaeiicr.

Mais il ne l'aut pas oublier que les propositions qui n'avaient été établies que dans le (-as d'exposants entiers el sans signe ne peuvent être admises qu'après une démonstration appliquée à la nouvelle définition; et c'est ainsi seulement que l'on a pu obtenir la généralisation si utile de> théorèmes et des formules relatifs aux exposants.

Une des plus utiles applications (|u 'on en ait faites consiste à considérer tous les nombres comme pouvant être représentés parles puissances positives ou négatives d'une même base. Par là les opérations sur les nombres se trouvent considérablemrnl siinplilic'cs. l()rs([uc cette traiislormalmn a été elTectuée el <pi 'une table suffisamment exacte a éliconstruite à cet effet. Nous n'en disons pas davantage sur la conception des logarithmes, dont les traités élémentaires présentent la théorie, sans difficulté possible,

ConlinuiU; des fonctions. — La possibilité de représenter tous les nnn)bres par une exponentielle variable est fondée sur la considération de la continuité des fonctions, que nous démontrons avec détail, et(jui conduit à quelques propositions importantes sur les polvnônies entiers.

Transformation des fonctions el des équations. — Nous nous occupons ensuite d'une méthode générale dont les applications sont très fré(juentes et se rapportent aux questions les plus variées; c'est celle de la transformation des fonctions, el par suite des équations, par changement de variables. La dépendance qu'on établit entre les premières el les nouvelles variables ou inconnues est aibitraire, el on

43a EXPOSÉ SYiNOPTIQUE.

la choisit siiivaiU la nature des questions, en avant soin d"y laisser des quantités indéterminées dont on profite pour opérer des simplifications. Ce procédé est analytique, puisqu'il ramène une question à une autre, qu'on tàclie de rendre plus simple ; mais, si le choix qu'on a fait de la forme de la relation des variables ne conduit pas à une question plus facile à traiter, on l'abandonne et on en cherche une autre : l'Analyse ne peut que diriger des essais qui trop souvent ne réussissent pas. JVous ayons fait quelcpies applications de cette méthode à la théorie des équations algébriques, que nous traitons très rapidement, en renvoyant au^ traités spéciaux. Une transformation particulière nous a conduit à la considération des j)olynônies dérivés, dont nous avons démontré «[uehpies propriétés utiles et qui sera généralisée plus lard.

Nous faisons connaître ensuite une métiuide très féconde, due à Descartes, et qui a pour objet la détermination d'expressions dont la forme est donnée et dans laquelle il reste à chercher les valeurs de certains coefficients. On obtient les équations qui les font connaître par le procédé général qui consiste à vérifier si les conditions de la question sont remplies. Descartes en a fait l'application à la théorie des équations du quatrième degré et au problème général des tangentes aux courbes.

Mais, pour que l'emploi de celte méthode soit sur, il faut (|ue la forme que l'on prend pour l'expression cherchée soit rigoureusement établie; ou que, si elle est prise d'abord hv|)othétiquement, on démontre à la fin qu'elle satisfiill ; cDiidilioiis auxquelles malheureusement on ne se soumet ])as toujours.

Nous terminerons ces premiers éléments de la science des nombres par l'étude des séries. La méthode de développement des fonctions en séries a pour but de remplacer des expressions C(>mpli(piécs par d(!s expressions plus simj)les,

EXPOSÉ SVNOPTIQVE. 433

mais aussi d«inl le nombre est illimiU'. Nous élalilissons les conditions rigoureuses qui rendent leur emploi légitime, et nous donnons les principales règles au moyen desquelles on peut rceorniaîlTe si ell(;s soiil ifinplies.

SCIENCE DE I. l^TENDliE.

Les objets qui nous entourent l'ont naître en nous les idées de grandeur, de forme, de situation, de pluralité, de résistance, de couleur, et bien d'autres encore. La faculté d'abstraire, qui nous est naturelle, nous permet de nous i.ccuper isolement d'une ou de plusieurs de ces propriétés, ce qui en rend Télude plus facile.

Nous avons commencé par considérer e\clusi\einent la pluralité ou le nombre, comme étant la noiion la plus simple et un élément indispensable de l'étude de toutes les autres ; nous avons indiqué les idées premières qui accompagnent nécessairement celle des nombres, et nous avons constitué les éléments de celte science.

Nous sommes passé ensuite à l'étude des corps considérés seulement sous le rapport de l'étendue. Nous avons établi les notions premières dont toutes les lois de l'étendue sont des conséquences nécessaires, el qui résultcni d'expériences, d'observations cl de réflexions dont nous avons perdu la trace, mais qui ont laissé en nous le sentiment complet de l'évidence. Ces notions, quoique plus multi- |iliécsque poiirla science des nombres, sontcependanl assez restreintes. Il faudrait leur en ajouter quelques autres si r<m voulait considérer les corps sous le rapport de leurs actions mutuelles et des mouvements tpii peuvent en résulter; et bien d'autres encore si l'on voulait les considérer avec toutes leurs propriétés naturelles. Mais la science de l'étendue doit être étudiée, ainsi (pie celle des nombres, avant toutes les autres, |)arcc fpii; dans ces dernières les Uni. — Mélh. III. 25

idées dciiombre et d'étendue s'inlroduisenl nécessairement, et c'est d'elles seules que nous nous occupons dans cet Ouvrage.

i\otionx/>rr/nières. — -Les auteurs d'éléments deGéonic- Irie ne sont pas tous partis des même notions premières, et il en est résulté des dilTérences notables dans l'ordre et la démonstration des propositions qui s'en dt'-duisent immédiatement.

Ainsi le Traité d'Euclide diffère beaucoup, au début, des plus célèbres Traités modernes, par suite de la notion diirérente qu'ils admettent pour la ligne droite. Euclide la considère comme déterminée de position par deux de ses points ; les autres la définissent comme le plus court chemin entre deux quelconques de ses points. Cette dernière définition faciliterait beaucoup la démonstration des premières projiositions ; mais nous avons fait voir qu'elle était tout à fait inadmissible. Et en effet, en Géométrie, l'égalité se reconnaît par la possibilité de la coïncidence, el la notion de l'inégalité en est la conséquence ; la comparaison des longueurs de lignes de forme quelconque, pour lesquelles la superposition est impossible, nepeutdonc être conçue au début delà science, el ne peut servir à la définilion de la plus simple de toutes les lignes, de celle à laquelle on cherchera à ramener toutes les autres.

Nous avons donc jugé à propos d'abandonner complètement les errements nouveaux, et de revenir à l'exposition laite |)ar Euclide des premières théories de la science de l'étendue.

AIcsiiic des grandeurs. — Nous avons procédé ensuite "à la mesuie des (pianlilés pour lescpiclies la (jueslion peut être ramenée à la considération di; l'égalité : tels sont les figures planes lei-ininécs par des lignes droites, les angles cl les solides prisnialiqufs. l'^nfin nous avons résolu un (crtain nombre de |)roblèmes, comme exemples de diverses

F.XPOSf. .S\ >OI>TIQlIK. 435

iiu-tlioiirs ii[)[]ll(;alilc> à ces sortes de reelicrelies. cl |);irliciilièremonl Je la niiHliudc anal\ lii|iie qui les ddiiilin' loiues, cl que nous avons fait ressortir avec grand st>in.

Des iiuaulilt'-s considérées comme limites de séries on de sommes d' infiniment petits. — La comparaison des grandeurs ne peut pas toujours cire ramenée à la enn>iili riiiion de l'égalité. Les ligu'.'es planes terminées |);ii' des ili()it<'s peuvent être décomposées en triangles doni la mesure se lamène à celle des rectangles, dont la conipar.iison ;iii carré pi-is pour unité s'effectue par la décomposition en |(arlies ('•gales. Mais il n'eu est pas de même des figui-es Icrmiuécs par des courbes; et pour la comparaison des surfaces des cercles soit entre elles, soit avec l'unilé, il a fallu avoir recours à de nouvelles conceptions. C"<^st à celle oct'asion que les anciens g''omètres ont imaginé de considérer les grandeurs connne limites d'autres grandeurs variables, dont la comparaison était plus facile. Ils cherchaient alors la relalinn entre ces nouvelles grandeurs, et, après en avoir tiré par induction celle (pil devait exislei- eniri' les pro[>()sées, ils la démontraient rigoureiisemeni ])ar- la inTihode de réduction à l'absurde. Les variables considérées par Luclide sontdes sommesde grandeurs conslantesen nombre indéfiniment croissant ; c'est-à-dire^ dans notre langage, qu'il regarde les quantités en question comme limites de In somme 'les termes de séries convergentes, et il (f'niinlr-e celle (■onvcrgence en s'appuyant sur ce théorème gc'néral. aiu- si l'on ôte d'une quantité (jiielconque plus de sa moilic, puis du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite indi'fini ment, on pourra parvenir à un reste moindre que toule ipianlité désignée.

Archimède. au lieu de corisidéicr le, (juanlili's à mesurer comme égales à une somme de quanlit(''s fixes, plus un resie indéfiniment décroissanl, les considère comuie (;oiuposées d'une sonnue de (piauliU's variables ind(''liniiiiiiit ibcrois-

4JCÎ EXPOSÉ SYMOl'TIQLE.

santés, et d'un reste pouvant devenir moindre que toute quantité donnée.

C'est à celte occasion que nous avons exposé les principes de la méthode des limites et de la méthode des infiniment petits. \ous en avons fait l'application à diverses questions traitées par Euclide et Archimède, et qui se rapportent à la mesure des surfaces planes, des surfaces courbes et dos volumes des corps terminés par ces surfaces. Et nous ferons remarquer qu'Archimède est le premier qui se soit occupé de la mesure des lignes courbes et des surfaces courbes; il a demandé à cet effet qu'on lui accordât quelques propositions comme évidentes, et il a pu ainsi accroître considérablement la science. Mais quoiqu'il n'adopte pas pour la ligne droite la définition des auteurs modernes, il ne définit pas plus qu'eux ce qu'il entend par l'égalité de longueur de lignes qui ne sont pas superposables. C'est pour cela que nous rejetons sa théorie et que nous la remplaçons par une autre que nous espérons que l'on adoptera un jour.

VPPI.IC.vriO.N DE l.X SCIENCE DES N'OMBRES A I.A SCIENCE DE LÉTENDUE.

Toutes les grandeurs que l'on considère dans la Géométrie étant susceptibles d'être exprimées en nombres, on conçoit la possibilité d'appliquer l'une à l'autre chacune de ces deux sciences. Pour résoudre un problème de Géométrie au moyen des théories de la science des nombres, on commence par chercher des équations entre les lettres qui représentent les lignes, tantconnuesqu'inconnues, qui entrent dans la question; et nous faisons connaître à cet effet la règle générale donnée par Descartes, et reproduite par Newton. Les équations étant trouvées et résolues, on a les formules des opérations à faire sur les nombres qui mesurent les grandeurs données, pour obtenir ceux qui mesurent les inconnues. Arrivé à ce point, il \ a deux manières d'aclie-

EKl'OSÈ SyXd'TIQl E. '\'iy

ver la solulion, suivant quon se propose de calculer rcellemenl ces derniers nombres, ou de trouver les constructions ù faire au movcn des grandeurs données pour obtenir les grandeurs cberchées. Dans ce dernier cas, le calcul est un intermédiaire qui ramène les constructions demandées à celle des expressions algébriques, pour laquelle on a quelques procédés généraux.

Il y a une remarque Importante à faire sur les équations qui renferment une ou plusieurs espèces de grandeurs concrètes évaluées en nombres, sans que pour aucune délies on ail pris une des grandeurs données pour uniié. IClle consiste en ce que tous les termes sont homogènes par rapjjort à chacune des espèces distinctes de grandeurs; elle n'avait pas échappé à Descartes, mais nous avons dû la traiter avec beaucoup plus de développement.

Quantités négatives dans les résultats ou dans les données. — Nous avons présenté, comme exemples des méthodes, quelques problèmes de Géométrie, et nous avons discuté avec beaucoup de soin les divers cas qu'ils renfermaient. Dans l'un deux nous avons remarqué une solution étrangère, et nous avons montré que cela tenait à ce qn'il n'y avait pas réciprocité entre le problème proposé et le problème de calcul auquel on l'avait ramené. Dans d'autres nous avons reconnu que les é(}ualions auxquelles on était conduit en partant <le chacun des cas que le problème comporte étaient quelquefois les mêmes et quelquefois différentes par certains termes. Ces différences |)cuvcnt disparaître par la suite du calcul, surtout par l'élimination de radicaux du second degré; mais elles peuvent aussi subsister dans les équations rendues rationnelles. Plusieurs des problèmes que nous avons traités ont conduit à des équations différant les unes des autres par les signes des termes renfermant 1 inconnue à des puissances impaires seulement ; et cellecirconstancecorrespondaità un changement dedirec-

4'''^ EXI'OSÈ SY\OI'TIQrE.

lion de la ligne représentée par celle inconnue. 11 es L résulté de là i|ue l'une des équations suffirait, à la condition de porter les lignes correspondant aux racines négatives, dans le sens contraire à celui qu'on avait choisi pour mettre en équation.

iNous avons reconnu (pTune formule importante, d'un emploi très fréquent, se trouvait généralisée par cette même considération : c'est celle qui exprime la dislance de deux points. Une seule forme suffit à représenter les cas très variés auxquels peuvent donner lieu les positions relati\es des extrémités. La démonstration doit en être faite, une lois pour toutes, pour tous les cas possibles; et l'on peut ensuite l'appliquer sans nouvelle discussion et sans avoir besoin de se préoccuper d'aucune règle de signes, puisque la démonstration de sa généralité est faite sous la condition expresse que les opérations sur les quantités négatives soient exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des pohnômes, le seul où elles aient un sens.

Cette formule et d'autres qui, comme elle, se présentent souvent dans l'expression des conditions géométriques en équations, étant démontrées générales sous les conditions que nous venons d'énoncer, rendent assez [facile la démonstration de la généralité des équations, quand elle a lieu. Mais il ne faut pas oublier que cette démonstration est indispensable, et que la science doit repousserles principes fondés sur des analogies vagues, indépendantes de la nature des questions auxquelles on prétend les appliquer.

Trigonométrie. — Les données et les inconnues des problèmes de Géométrie étant des lignes droites éludes angles, il aurait été utile d'avoir des équations entre ces quantités; mais la complication que présenteraient ces relations y a fait renoncer, excepté dans quelques cas très particuliers. D'ailleurs, ces sortes d'équations ne sont connues que depuis les progrès récents de la théorie des séries, tandis (pi'^

EXPOSÉ SYINOPTIQVE. 4^>g

celles i|iii .-ont iililes dans les cas ordinaires le sont dcpiii-; 1res longtemps.

L'idée heureuse quonl eue les anciens pour éluiicn- \,\ dilTicullé de trouver des relations entre les côtés el les angles des triangles, problème auquel se ramènent tous les autres, a été de considérer, au lieu des angles eux-mêmes, des droites qui les déterminent, et, réci|)ro(|uement, sont déterminées pai- cu\. Ils ont clidisi à cet elTet les lignes, ou mieux les rapports de lignes, les plus commodes, et ont trouvé des relations entre ces quantités et les côtés des triangles. Ils ont ensuite construit une table (pii faisait connaître les unes par lesautres ces quantités et les angles correspondants; de sorte qu'il était indilTérent d'avoir des équations dans lesquelles entrassent les angles, ou ces quantités auxiliaires que l'on nomme lignes trigonométiiqiies.

Généralité des formules I rigonoDiétrii/ ites . — Cette conception est l'une des plus importantes dans l'ajiplication réciproque de la science des nombres et de la (léométrie; et ce qui accroît beaucoup l'utilité des équations auxquelles elle conduit, c'est la possibilité de renfermer, sous un seul Ivpe, toutes les formules relatives aux divers cas cpiMMe même question peut présenter. Le moyen unique par leipicl on V parvient consiste encore à regarder comme implicitement négatives dans les formules les quantités qui se trouvent dirigées en sens opposé à celui qu'elles avaient dans les figures qui ont servi à trouver les formules. La condition expresse de cette extension est qu'on exécute les opérations sur ces rjuantités négatives d'aj)rès les règles démontrées dans le cas des poKnômes; de sorte qu'il n'\ a encore aucune question à se faire sur cette manière dopérer, puisqu'il a été démontré que cette manière d'agir est un moyen sûr de tirer tous les cas particuliers d'un seul système d'équations, au lieu d'en emplover plusieurs; ce qui est un avantage considérable dont on pourrait à la ri-

44" FAPOSÉ SYiSOl'TIQtE.

giieur se passer, mais qu'il ne sérail pas raisonnable de repousser.

^ Après avoir établi ces proposilions avec tout le soin que réclamait leur importance, nous sommes passé auK questions où l'on ne considère plus un seul point ou plusieurs en nombre fini, mais une infinité de points assujettis à des conditions communes, et formant un lieu continu de Torme quelconque.

Equations des lieux géométriques. — Lorsque Ton cherche un point seulement, on trouve deux équations entre les grandeurs qui doivent le déterminer, et qu'on nomme ses coordonnées . Mais lorsqu'on doit avoir une infinité de jioints formant un lieu continu, on ne doit avoir qu'une seule équation entre les coordonnées d'un quelconque de ses points. 11 se présente alors deux genres de questions : suivant qu'on cherchera l'équation d'un lieu d'après une projiriélé géométrique commune à tous ses points; ou que, l'équation étant donnée, on se proposera de trouver la forme et les propriétés du lieu.

Nous avons commencé par donner quelques exemples de la recherche des équations de lieux géométriques dans divers systèmes de coordonnées; et quelquss-uns d'entre eux ont présenté le cas de solutions étrangères ou de solutions perdues. Nous avons reconnu que cela tenait, comme il était facile de le prévoir, à la non-réciprocité, dans un sens ou dans l'autre, entre les conditions delà question géométrique et celles que l'on exprimait, soit dans les premières équations, soit dans celles auxquelles a conduit la suite du calcul.

11 arrive souvent aussi que différentes parties d'un lieu défini géométriquement sont représentées par des équations différentes, si l'on prend toutes les lignes en valeur absolue, mais que ces équations se réduisent à une seule, si l'on y regarde comme négatives les lianes de sens contraire au

sens primitil'. Dans ce cas on généralise la première équation en V introduisant cette condition déjà admise dans il'autres cas pour le même objet. l'A il est inutile dé dire que, si l'on ne pouvait réduire plusieurs équations à une seule que par un moven qui ne serait pas conforme à ceux précédemment admis, on se garderait bien de le faire, parce qu'il en pourrait résulter des contradictions, ou loul au moins une confusion qui ferait perdre tous les avanlages qu'on aurait cherchés dans ces généralisations.

Lieux d'é(/uations données. — Nous avons trailé ensuite la question inverse, et nous nous sommes prop;)sé de construire le lieud" tous les poinis satisfaisant à une équation donnée.

Il V a lieu d'abord de se demander quel usage on fera des solutions négatives ou imaginaires que l'équation pourrait présenter, et il faut distinguer deux cas :

Ou les conditions d'après lesquelles celte équation a été obtenue demandent, comme nous l'avons vu dans plusieurs problèmes, que les solutions négatives soient portées en sens inverse des positives, et qu'on ne tienne aucun compte des solutions imaginaires;

Ou l'équation a été donnée a priori sans conditions, el seulement comme exercice arbitraire; en un mol, comme une question de fantaisie.

Dans le premier cas, tout esl prévu, el Ion na (ju'à .se conformer aux prescriptions.

Dans le second on est maître de faire ce que l'on veut. On construira uniquement les solutions négatives, si cela plaît; on ne construira que les négatives, el on les portera dans le sens que l'on voudra; on construira ainsi les unes el les autres, si cela convient; on construira des points d'une manière quelconque au moven des solutions imaginaires : tout cela est permis à celui qui ne s'est proposé, comme nous l'avons dit, qu'une question de fantaisie. C'est

4 [2 KM'OSÉ SYNOI'TKJl E.

faute (le l'iiirc colli: (li?linctioii c[ue Ton trouve quelquel'ois Ac-i (litflcultcs (liins l'iiitcrprélalion des solulions d'une '■(juatioii posée -ans coiidltlons et sans connaissance de son origine.

Le changemcnl de système de coordonnées, si souvent utile, se fait au moyen de formules dont on démontre la généralité sous les mêmes conditions que les formules antérieurement discutées. Il résulte de là des conséquences importantes sur la mise en équation des problèmes et sur rinterprétalion des solutions négatives. Parmi les remarques <[ue nous avons faites à ce sujet, nous indiquerons la proposition suivante :

iSi une é.qiinlion polaire a été ohleiiue en partant d'unt: è(/uatio/i rationnelle entre les coordonnées rectilignes, c/iatfiie point du lieu pourra e'tre construit de deux manières différentes : l'une par une valeur positive du rayon recteur portée dans la direction déterminée par la valeur correspondante de l'angle ; l'autre, par une valeur rtégatit'e du rayon portée en sans contraire de la direction déterminée par la valeur de l'angle qui a donné cette valeur négative.

On pourra se borner à un seul de ces procédés, et alors, pour avoir tous les points du lieu, il faudra faire passer l'angle de zéro à quatre droits. Mais si Ton admet les solutions positives ainsi que les négatives de la manière tpie nous venons d'indiquer, il suffira de faire varier l'angle de zéro à deux droits.

.Mais il faut bien remarquer que celte proposition ne s'applique qu'à l'équation polaire telle qu'elle résult- de la transformation des coordonnées; et si elle était décomposable en plusieurs autres, rationnelles par rapport au ravon vecteur, la double construction, n'étant démontrée que pour leur ensemble, n'aurait généralement lieu pour aucune des t\cu\.

Problème des tangentes. — Après avoir lail Tappiicalion des théories précédeiilcs aux lignes rcprésenlées par les équations «lu premier et du second degré, nous axons traité riniporlante question des tangentes aux courbes de degré quelconque. Descaries est le premier qui ait considéré le contact de deux courbes, ou d'une courbe el d'une droite, comme limite de l'intersection de deux lignes dont l'un des points communs se rapproclie indéfiniment de l'autre. Nous avons montré comment, à ce point de \ue, le problème des tangentes dépend de la limite du rapport de deux infiniment petits, qui peuvent toujours se ramener aux accroissements correspondants des deux coordonnées, quelque soit le svstèmeauquel les points soient rapportés, de sorte que l'on peut énoncer celte proposition générale :

Le problème géométrif/iie des tangentes est ramené à ce problème de calcul : Trouver la limite du rapport des accroissements injiniment petits correspondants de deux variables liées par une écptation donnée.

Nous avons donné quel<]ues exenqiles de cette recherche : dans les uns les points du lieu étaient déterminés par une équation entre les coordonnées; dans d'autres ils l'étaient par des conditions géométriques, mais c'est toujours à la limite du rapport de deux infininicnt petits que le problème était ramené.

La considération des rapports d iiifininienl petits ne s'applique pas seulement aux (piestionsde tangentes, mais à beaucoup d'autres de nature très didérente. Nous les avons appliqués à la courbure des lignes planes, à la vitesse el à l'accéléralion dans le mouvement varié quelconque d'un point en ligne droite; et nous avons montré en gém'-ral comment les limites de rapports d'infiniment petits ramenaient la considération des variations les plus conipli- «juées à celle de l'uniformité, ce rpii est le plus haut degré

4 {4 EXrOSÉ SYKOPTIQtE.

possible de simplicité. Mais c'est à la condition de décomposer la grandeui- en éléments infiniment petits, et de la regarder comme limite de la somme de ceux d espèce plus simple par lesquels on les remplace.

JÏ ppllcalion de la Géomiitrie a la science des nombres. — Les propositions de Géométi'ie qui sont susceptibles d'être exprimées en formules et de donner lieu à l'application de la science des nombres peuvent réciproquement être appliquées au calcul et conduire à des théorèmes ou à des solutions de problèmes de la science des nombres. Nous n'avons pas cru devoir donner une très grande étendue à cette partie de la science, et nous nous sommes borné à indiquer l'usage qu'on en a fait dans la théorie des équations, et dans quehpies recherches de limites de sommes d infiniment petits.

Enfin, nous avons montré les avantages que la science des nombres pouvait tirer de l'application des lignes trigonométriqiies aux expressions imaginaires; nous avons démontré la certitude des résultats obtenus par ces procédés singuliers qui semblent d'abord n'avoir rien de scientifique et de sérieux, mais qui constituent un puissant moyen de transformation et de généralisation. Aous avons commencé par bien fixer le sens que nous attachions à une équation entre des expressions imaginaires. L'égalité des parties réelles des deux membres, ainsi que l'égalité des parties imaginaires, a été la condition expresse et non la conséquence d'une pareille équation, ce qui est l'inverse de ce que l'on a fait si longtemps. Nous avons montré que ces expressions, quand elles étaient produites par la résolution des équations, devaient, pour y satisfaire, être traitées par les règles ordinaires comme si elles étaient de véritables quantités, et que, lorsqu'elles étaient introduites arbitrairement dans le calcul, c'était toujours sous la condition expresse qu'elles fussent traitées de la même ma-

KNPOSÉ SV.VOI'TIQIE. 415

nière : trou il résulte qu'il n'\ a aucune rrgle à démontrer sur ces symboles, et que chercher à le faire serait méconnaître les conditions de leur introduction.

L'un des théorèmes importants que nous avons choisis pour montrer l'avantage de la transformation trigonomé- Irique des expressions imaginaires est celui qui sert de base à la tiiéorie générale des équations. 11 consiste en ce qu'une équation de degré quelconque, à coefficients réels ou imaginaires, admet toujours une racine réelle, ou une racine imaginaire de même forme que celles des équations du second degré, sous la condition expresse qu'elle sera traitée suivant les règles établies pour les quantités réelles. Il résulte de ce théorème que toute équation du /«"="" degré a m racines, et que tout polynôme de degré ni peut être regardé comme le produit de /// facteurs du premier degré. Ces facteurs sont réels ou imaginaires, et, par l'emploi de ces symboles singuliers, toutes les transformations et tous les calculs si utiles, fondés sur la décomposition des polynômes en facteurs du premier degré, prennent un degré de généralité qu'il ne serait pas jiossible de leur donner, si l'on s'assujettissait à n'adinetln- (pie les lorniules réelles.

FI.X UK LA lllOISifcHK PARTIE.

^ Phyrcal A

^ Appbed Sci

Duhamel, Jean Marie Constan+