MATIÈRES TRAITÉES DANS CET OUVRAGE

L oljjt't |ii'iticl|);il (HIC MOUS avons en vue dans cet Ouvrage est la direction de l'esprit dans la recherche et dans la démonstration de la vi'ritc. Les moyens généraux que l'on peut indiquer à cet cfTct enseignent comment il faut chercher, mais ne font pas toujours trouver; le succès dépend beaucouji de l'iiabileté de celui qui les emploie : mais, quelle que soit leur imperfection, leur utilité est inconleslahle.

Nous les avons étudiés spécialement dans les questions qui se rapportent aux sciences de raisonnement. Nous avons donné une définition ])réciso de ces sciences, et nous avons assigné avec beaucouj) de soin le caractère des questions que l'on peut avoir à v traiter.

Nous avons exposé les méthodes générales rpi'on emploie à cet effet et auxquelles les anciens ont donné les noms d^analyse et de synthèse. Nous croyons avoir ajouté quelque chose à ce qu ils nous ont laissé sur ce point, et nous n'avons pu nous enqjècher d'e\|jrimer notre étonnement de voir que les Traités modernes de logique n'en font aucune mention. Celui de Purl-lloyal en dit quehjucs mots à peine, beaucoup moins certainement qu'on n'en trouve dans les ouvrages de Pappus d'Alexandrie. Mais Condillac el tous ceux qui l'ont suivi ont entendu les mots analyse et synthèse dans un autre sens que les anciens; ils n'v ont vu Dm. — MviU. III. 2-

4l8 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

que la décomposition d'un tout dans ses parties, cl la recomposition de ces parties pour refaire le tout. Ils ont cru que c'était en cela que consistaient les procédés des géomètres modernes, dont ils ne pou valent apprécier les œuvres, et ils les ont donnés avec assurance comme les seules méthodes propres à diriger l'esprit dans la recherche et la démonstration de la vérité. Nous serions heureux de penser que cet Ouvrage pourra contrihuer à les faire revenir de cette erreur.

Après avoir exposé les généralités applicables à toutes les sciences de raisonnement, nous avons jugé nécessaire de les éclairer par l'application, et nous avons dû choisira cet effet les sciences les plus simples et les plus parfaites, la science des nombres et la science de l'étendue.

Sciences de raisonnement. — Nous avons appelé science d'une chose l'ensemhle des lois de celte chose, c'esl-à-dire l'ensemble des rapports nécessaires qui dérivent de sa nature. Elle devient science de raisonnement lorsque les données que l'on possède sur celle nature déterminent complètement la chose, et par suite toutes ses lois.

Pour constituer la science des nombres et celle de l'étendue, nous avons donc dû d'abord fixer si exactement la nature des nombres et de l'étendue, que toutes les lois de ces deux choses en fussent des conséquences nécessaires. C'est ce que nous avons fait, en n'admettant que des idéeS et des propositions si évidentes pour tous les hommes, et si intimement liées aux impressions que les objets extérieurs produisent sur leurs sens, qu'il leur semble impossible d'élever le moindre doute à leur égard.

SCIENCE DES ÎNOMBRES.

Nous nous sommes d'abord occupé exclusivement de la science des nombres, qui est celle qui emprunte au monde extérieur le moins de données premières. Nous avons rapi-

KXl'OSÉ SV.NOl'Tlyl !•;. 4 '9

rlemenl passé en revue les questions relati\cs à leiii- iidnienclalure el aux (ipéralions les plus siin|)les auxquelles ils peuvent donner lieu. Les procèdes d'exécution de ces opérations se fondent immédiatement sur la décomposition des nombres adoptée dans la numération, et c'est par conséquent l'application du premier nioveii indiqué iiar la inétliode anah tique.

Extension de l'idée des nottthres. — Nous avons bientôt senti la nécessité de donner de l'extension à l'idée de nombre, qui n'a dû être d'abord que celle de la pluralité. Cette extension a pour objet de réduire à une seule plusieurs propositions qu'on était oblijié d'énoncer séparément. Il V a donc d'abord simplification dans la science; mais il y a cet autre avantage que cette généralisation constate et rappelle à res)irit des analogies reconnues entre des choses qui se présentaient d'abord coniiiie isolées.

Toutefois, ces avantages ne ]>euvent être acquis par la seule extension d'une définition ; il est indispensable de reprendre toutes les propositions établies d'après la première conception, el de les étudier d'après la nouvelle. C'est ce que nous avons fait avec grand soin, et nous avons jugé d'autant plus nécessaire d'insister sur ce point, que la plupart des ouvrages élémentaires ne le traitent pas avec la • rigueur nécessaire, et que, |)lus tard, trompés par l'emploi de signes généraux, les auteurs semblent admettre comme vraies, dans tous les cas, des propositions qu'ils n'avaient démontrées réellement que dans les cas les ])liis simples.

Résolution analytique de quelques problèmes. — Nous avons ensuite résolu un certain nombre de problèmes, afin de faire reconnaître sur des exemples faciles l'emploi des méthodes générales exposées dans la première Partie de cet Ouvrage. L'analyse, qui est la seule méthode d'invention, est celle dont nous avons Aiit usage; mais nous avons procédé tantôt par df'duclion, laiili'il p;ir n'-(iuelii)ii. en

420 EXPOSÉ SYKOPTCQUE.

a\aiit toujours soin de disculer la réciprocité. La première marche est plus souvent employée; il est ordinairement plus facile de déduire une proposition d'autres supposées connues, que de découvrir de quelles propositions on pourrait déduire celle que Ion désigne; mais si Ton démontre la réciprocité, on arrive au même point par les deux procédés. Si au contraire la réciprocité n'a pas lieu. les deux [)rocédés conduisent à des conséquences différenles : la question substituée à la proposée contient, dans un cas, des solutions étrangères, tandis que, dans l'autre, il V a des solutions perdues.

(jrneralile. — Nous nous sommes occupé ensuite des movens d'obtenir la généralité, soit dans la solution des problèmes, soit dans la démonstration des théorèmes. L'avantage obtenu ainsi pour les problèmes est de dispenser de recommencer les calculs pour chaque nouveau cas particulier; mais la généralité des théorèmes est d'une nécessité absolue, puisque, sans cela, on ne pourrait les appliquer même à des cas particuliers, et surtout s'il v avait des nombres inconnus; car toute vérification sur eux serait impossible.

Nous avons dit que, pour obtenir la généralité dans les résultats de toute question de nombres que l'on sait résoudre sur des données particulières, il suffisait de représenter les nombres donnés par des lettres, et d'agir comme on le ferait sur des données particulières; les opérations, qui ne pourront alors qu'être indiquées, conduiront à des résultats qui ne seront eux-mêmes que des indications d'opérations, au lieu d'être des nombres comme cela aurait été dans le cas où les données auraient été des nombres particuliers.

L'emploi des lettres, ou même d'autres signes arbitraires, donne donc la généralité en faisant connaître quelles opér.itions connues il faut cn'eclurr sur les données de tout cas

KKPOSÉ sy>oi>tiqi:k. 421

particulier, pour obtenir le résultat correspondant; rt les signes employés pour indiquer ces opérations donnent au\ expressions le |)lus haut degré possible de -iniplici!!''.

Une pareille indication se nomme formule, et les -olulions générales de toutes les (pieslions de nombres ne soni |iar conséquent que des formules.

La nécessité des résultats généraux, se l'ail sentit- dès le commencement, et n'a point écbappé aux anciens. Ils mi! résol u des problèmes et démontré des théorèmes d'une manière générale. Mais ils désignaient les nojiibres par le rôle qu'ils jouaient dans la question, et sans avoir même de signes pour représenter les opérations à eflecluer sur eux. Il r.'-sultait de là que leurs énoncés étaient quebpiefois dune grande difficulté à comprendre, et les solutions ou les démonstrations encore plus pénibles à suivre. C'est au point qu'on ne peut s'empêcher de penser qu'ils cmplovaienl pour ces recherches des notations plus simples, analogues peut-être aux nôtres, el qu'ils ne se servaient de l'écriture ordinaire que pour en communiquer aux autres les résultais. Dans tous les cas, la comparaison de nos procédés avec ceux qu'ils nous ont transmis est très ulile à faire, pour montrer combien les raisonnements el la succession des idées sont facilités ou obscurcis, suivant le choix des signes destinés à représenter les choses el leurs i-apports.

Mais l'invention de ces signes, si importante qu'elle soil dans la science des nombres, ne constitue pas une science à pari : c'est un progrès qui ne pouvait se faire beaucoup attendre dès qu'on a commencé à s'occuper de celle science pour elle-même; cai' les anciens cullivaienl surtout la Géométrie et ne se proposaient de jiroblème de calcul que pour résoudre des problèmes de Géométrie. Ainsi, Archiniède a découvert la formule de la somme fies termes de la progression géométrique dont la laison est |, pour servir à la quadrature de la parabole; il a donni' la formule de la

42''. EXI'ObÉ SYjVOFTIQlE.

somme des carrés de nombres en progression arilliméti([uf avant pour raison l'unité, en vue de la quadrature de la spirale, etc. Il se servait du langage et de l'écriture ordinaires, et la difficidté qu'on éprouve à le suivre est un des plus frappants exemples que l'on puisse citer à l'avantage des notations des modernes. Mais si l'on voulait partager la sciencedes nombres en deux autres, l'Arithmétique et l'Algèbre, la première traitant les questions particulières, la seconde les questions générales, dans laquelle mettrait-on les Ibrmules d'Archimède'? Ce serait sans doute dans la seconde; on ne ferait donc pas consister l'Algèbre dans l'emploi des lettres. Mais si c'est la généralité qu'on prend pour caractère de l'Algèbre, il faudra v renfermer tous les théoj'èmes de l'Arithmétique qui n'ont d'existence que par la généralité. Cette division de la science des nombres n'est propre qu'à empêcher ceux qui commencent de comprendre l'esprit des théories et la manière naturelle avec laquelle on a procédé à leur formation successive; nous nous sommes bien gardé de l'adopter, et nous n'en parlons ici que pour expliquer les raisons que nous avons eues d'agir ainsi.

Mise en équation. — Les problèmes que nous avons choisis comme application des méthodes générales ont tous été ramenés à d'autres où il s'agissait de trouver un nombre qui satisfît à une certaine relation d'égalité. Cette substitution de questions est de la plus grande utilité, parce qu'on a des règles générales pour résoudre ces dernières quand l'inconnue ou les inconnues, s'il v en a plusieurs, n'y entrent qu'au premier degré.

Cette Iransfoiiualioii de la (pieslioii se nomme \\i mise en équation.

On V parvient en indiquant sur les nombres connus et inconnus les opérations par lesquelles on vérifierait si ces derniers conviennent à loules les conditions du problème;

EXPOSÉ SYAOI'TIQIE. ^2^

ce qui doit pouvoir se laire si l'on sest bien rendu coniplc de ces conditions; cette vérification conduira à des comparaisons qui se transformeront facilenicnl en <y///ti/io/is. Or, soit que l'on procède par déduction, soit par réduction, en partant des conditions mêmes de la question pour arriver aux relations d'égalité équivalentes à ces conditions, c'est toujours la mcu cite analytique qui aura été suivie. Mais celle équivalence n"a lieu que s'il y a réciprocité entre les questions substituées successivement les unes aux. autres. C'est ce que l'on doit examiner avec le plus grand soin; et si cette réciprocité ne peut être obtenue, si toutes les conditions de la question ne |)euvent être ex|)rimées par les équations, il faudra tenir compte des solutions étrangères ou des solutions jierdui-s.

Résolution des équations du prt^niier da^rc. — Pour avoir, la résolution générale d'équations du premier degré renfermant un nombre quelconque d'inconnues, il suffit, d'après ce qui aété dit précédemment, de représenter par des lettres tous les nombres connus qui entrent dans ces équations, et de suivre la même marcbe, toujours analytique, que si tous ces nombres étaient particularisés. On aura ainsi des formules apjjlicaljles aux cas où ces nombres auraient des valeurs quelconques; les équations proposées restant toujours de même forme, c'est-à-dire conservant ;iux termes correspondants les mêmes signes que dans les l'ijuations d'après lesquelles les formules ont été déterminées.

(ièncralisation ptti- les quantités nrgntii'es introduites dans les données. — On serait donc obligé d'avoir autant de formules qu'il v aurait de combinaisons de ces signes, l't ce nombre s'accroîtrait très rapidement à mesure que le nombre des inconnues augmenterait; de sorte <pie l'on devrait réellement renoncer à représenter d'une manière rcmiplèlement générale les sfdutions des équations du prc-

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mier degré dans lesquelles le nombre des inconnues sérail snpérlear à trois, et même à deus.

On a donc dû chercher à remédier à tout prix à cet inconvénient, et nous avons fait voir comment on v e^t parvenu par lintroductipn des quantités né^tivesdans les données. Xoas avons démontré cpi'en déterminant les formules des inconnues d"après une combinaison, arbitrairement choisie par les signes des termes des différentes équations, on aurait ainsi un tvpe d'où l"on ptourrait tirer les formules relatives à toutes les combinaisons possibles des signes de ces termes, en regardant comme implicitement négatifs les coefficients des termes (jui ont changé de signe par rapport à la combinaison primitive, et exécutant les opérations sur ces quantités négatives isolées suivant les règles démontrées dans la maltiplïcation ou la division des polvnômes.

Cette démonstration étant faite rigoureusement, un seul svstème de formules pour les inconnues salTîra pour toutes les combinaisons des signes des termes des équations données: et il faut bien remarquer que la manière d'effectuer ces opérations sur les coefficients positifs on négatil's n'est qu'un procédé commode pour obtenir les résultats que l'on cherche, mais qu'il n'v a aucun sens à attacher à ces opérations en elles-mêmes. C est le seul moven de renfermer tous les svstèmes de formules en un seul, et il faut l'emplover ou se priver de l'avantage immense qu'il procure, et que l'on sentira de plus en plus â mesure qu'on avancera.

Il serait donc absurde de chercher à démontrer ces règles sur les quantités négatives isolées, et considérées a priori. puisque les procédés que nous venons d'indiquer ne sont pas véritablement des opérations sur des quantités, mai? des movens mécaniques de déduire divers svstèmes de formules d'un seul, qui est un type unique correspondant ù

KM'OSÉ SY.NOPTIQL i:. 40.0

une forme convenue des équations données, <|ue l'on clioisil la plus simple et la plus facile à retenir.

L'introduction des quantités négatives dans les données sert à généraliser bien d'autres formules que celles. des inconnues dans les équations du premier degré, cl nous en avons indiqué quelques autres qui suffisent pour faii-c sentir la fécondité de ce procédé, dont lis applications (réquenles n'ofi'rironl plus de difficulté, parce rpi'on aura bien compris que ce n'est pas par une pure convention, ou par de vagues considérations a priori cpi'on y parvient, mais par l'étude des questions en elles-mêmes; que tout ce qu'il \ a de facultatif est la volonté de généraliser, mais (]ue le moven d'v parvenir est nécessaire et unique, et exige une démonstration.

Des ijuantitès négatives se présentant, conviio solulions. — Toute chose ne peut se présenter que dans les données ou dans les résultais des données. Aous venons de considérer les quantités négatives dans les données des questions: il nous resledonc à les considérer dans les résultats.

11 csl d'abord bien évident (juc tout ce qui est produit par le raisonnement ne peut donner lieu à aM( une difficulté, si l'on s'est bien rendu comple de ce ipic l'on a liiil. Alallicureuscmenl on néglige trop souvent de s'assurer s'il y a réciprocité enlre les questions que Ion substitue les imes aux autres, el alors on peut trouver à la fin des solulions étrangères ou des impossibilités qui ne sont pas dans la question proposée. Quelquefois aussi, lorsque la réciprocité a été complète, on rencontre des formes singulières, des indications d'opérations absurdes, auxquelles on cliercbe à donner une interprétation, tandis (ju'il ne faudrait en conclure que l'impossibilité de la question.

Lorsqu'une question csl susceptible de présenter pî.isieurs cas à peu près semblables, il arrive quelquefois que l'on en choisit un pour établir les équations, cl qu'on omet