CHAPITRE II. 5l

cas, on doil faire la discussion complète, et souvent minutieuse, de toutes ces variétés de circonstances : ce qui peut être quelquefois fort long pour des problèmes très simples. Le livre d'Apollonius, intitulé De sectione rationis, a pour objet la solution d'un problème de Géométrie qui, traité par le calcul, ne conduit qu'à une équation du second degré, mais qui donne lieu à une grande variété de positions relatives. On conçoit donc combien il serait à désirer que l'on pût posséder des formules applicables à tous les cas, qui permissent par conséquent de les traiter tous par un seul calcul, dans les résultats duquel on put reconnaître d'une manière précise les formes spéciales correspondant aux différentes dispositions des points donnés ou cberchés, et qui dispenseraient presque enlièreinenl de chercher à prévoir tous les cas renfermés dans la question, puisqu'ils seraient annoncés à la fin par des indices certains.

C'est ce que nous allons faire pour la formule qui exprime la distance de deux points, en les supposant déterminés par leurs distances à deux droites rectangulaires : ce qui est le système le plus employé et presque toujours le plus commode.

Soient XX', W {f'g- 8) les deux axes auxquels nous Kig. 8.

rapportons tous les points du plan; M, M' les deux points dont on veut exprimer la distancej x, y et x', y leurs

■J1 SCIEKCE DE L ÉTENDUE.

coordonnées respectives, qui sont AP et MP ou INIQ pour le premier, et AP', M'P' ou M'Q' pour le seeond.

Supposons d'abord les deux points situés dans le même angle YAX des axes, et les deux coordonnées de M plus grandes respectivement que celles de M'.

En prenant M'I parallèle à AX, MM' devient riiypolénuse d'un triangle dont les deux autres côtés ont pour valeurs x — x' el y — y', et l'on a par conséquent

Voyons les changements que subira cette formule pour toutes les positions des deux points relativement aux axes, et l'anJ à l'autre. La discussion sera la même pour les jk que J

pour les X, et il suffira de la faire pour ceux-ci, c'est-à-dire I

de considérer toutes les positions possibles de P et P'.

On peut d'abord partager tous les cas dans les deux suivants : J 1° P et P' sont d'un même côté de A; J 2° P et P' sont de côtés différents de A. M Dans le premier cas, M'I ou P'P est la diflerence des m deux .r et peut être exprimée par x — x' ou bien x' — x. Mais la formule (i) restera la même, soit qu'on ait développé (x — x'y en X- — 2xx' -+- x'-, qui est également le résultat de l'élévation de x' — x au carré, soit qu'on forme d'abord la différence x — x', qui pourra être positive ou négative, pourvu qu'oh entende qu'on fera le carré de cette dernière suivant la règle des signes des polynômes; à cette condition le terme en x et x' de la formule (i) s'appliquera à toutes les positions de M, M', pourvu qu'elles soient d'un même côté de .\Y, à droite ou à gauche, c'est-à-dire du côté AX ou du côté AX'.

Dans le second cas, la grandeur M'I ou PP' ne sera plus la différence, mais la somme des x. lit, en effet, si l'un des points. M' par exemple, est en M", du côté AX', le côté du