CHAPITRE II

La proportion précédente suppose le point X à droite de G. S'il était à gauche, et entre A et G, les triangles serabiahles donneraient

"av" « — A.V' ou, en supprimant les accents,

AY a

mais, eneirectuantles calculs, on toinljcrail encore sur l'équation (i), parce que le dévelopi)enient de (« — x)'- est le même que celui de (x — a)'-.

Mais si la sécante menée par B rencontre la droite donnée AU, de l'autre côté de A, en X", la proportion sera

AY' fi AY" a

et l'équation en x difTércra de (i) par le changement de signe de x\ les racines de ces deux équiitions soroiil doue les mêmes au signe près.

On voit par cette discussion que l'équation ( i ) donnera les valeurs absolues des distances de A à tous les points X situés du même côté de A que le point G, et satisfaisant à la question; et qu'elle aura une racine négative égale en grandeur à la racine positive AX" de l'équation qui donne le point qui résout le problème, et est situé du côté op|)osé à G 5 d'où l'on conclut que l'équation (i) suffira pour la solution complète de la question, à la condition que ses racines négatives seront portées à partir de A en sens contraire des positives.

Gette équation dévelo|)pée est

(1.) x'' — î.ox^-f- (2a- — nt^)x^ -~- lain-x — «-/«* = o.

Si toutes ses racines sont réelles, la règle des signes de Descartes annonce que l'une d'elles est négative et les trois

46 SCIEISCE DE l'ÉTEKDUE.

autres positives. 11 v aura donc alors trois points à droite de A satisfaisant à la question, et un seul à franche. Ce dernier correspondra à l'inscription de la grandeur m dans l'angle VAU', ce qui est toujours possible.

Jl y a de même une inscription toujours possible dans l'angle UAV et correspondante à une valeur de x plus petite que A; et l'équation (2) annonce l'existence certaine de cette racine, parce que son premier membre prend des valeurs de signes contraires quand on y remplace successivement X par o et a.

Mais rien n'annonce avec certitude la réalité des deux autres racines; et, eflectivement, elles n'existeront pas si la valeur donnée m est au-dessous du minimum de longueur des droitet inscrites dans l'angle VAU, et passant par a. On pourrait chercher la condition pour que les quatre racines de l'équation (i) soient réelles, et on reconnaîtrait qu'elle exprime que m est supérieur à ce minimum ; mais il sera plus facile d'obtenir la solution complète du problème en le traitant par un autre procédé, qui aura l'avantage de montrer combien le choix des inconnues a d'importance et doit être fait avec discernement.

26. De la i^vnndeur qu'il ctciU avantageux de choisir pou/' inconnue .

L'inconnue que nous avions choisie était susceptible de quatre valeurs différentes, et devait conduire par conséquent à une équation du quatrième degré au moins; mais s'il existait une grandeur pro[)rc à déterminer les quatre positions des droites cherchées, et qui ne fût susceptible que de deux valeurs différentes, leur détermination pourrail dépendre d'une é(piation du second degré seulement, ce (pii é\ilerait toutes les difficultés de la discussion.

0\\ à eiiuse de l:i SMm'Iiic de ces quatre sécantes deux à deux par ru[)])(nt à Al.!, les distances du point B aux milieux

CHAl'lTRE II. 47

des parties inlerceplées sont égales deux à deux; el si on les prend pour inconnues et qu'elles soient données par une seule équation, elle n'aura que deux racines did'i'-rentes, et l'on doit penser (pi'elle sera réductible au second degré.

Soit donc X la dislance de B au milieu ^I de X\ , les segments BX et BY auront pour valeur !- .r (,■( x', W

et BX seront déterminés par les proportions AX . m AY m

et i'éouation AX + AY = m- deviendra

(m^ — Sa-) = o,

qui devient, en réduisant,

(ia- -~ m- ) „ m-

ou, en posant x- = z,

2 ib

On en tire

~ = «^ -^ — ;- rz yrt* -H a-m'-

Ces deuv valeurs sont toujours réelles el inégales; celle qui correspond au signe + du radical est toujours positive, et par conséquent donnera pourj; une valeur réelle: la condition pour que Tau Ire soit positive est

a''--. — — > \Ja- -h a^m^ ou m->8a'.

48 SCIEKCF, DE l'étendue.

Or Sa- est le carrr de la paiiie de la perpendiculaire à AB interceptée dans langle \ AU. Cette longueur est donc le minimum de m pour qu'il y ait des solutions dans cet angle. Si m était au-dessous, les solutions se réduiraient à celles qui se rapportent aux angles VAU', V'AU. La condition m- > 8rt'- est donc celle que l'on trouverait en exprimant que toutes les l'acines de l'équation (2) sont réelles.

27. Par un poinL B de la bissectrice d'un angle droit, mener une sécanteli.\ telle, tjue le triangle \AX soit égal à un carré donné ni- .

Ce problème est encore plus facile à résoudre ipic le précédent; aussi ne le présentons-nous que pour les remarques utiles qu'il nous permettra de faire.

L'analogie pinnrail porter à croire qu'en prenant pour inconnue AX on pur\ letuliail à une équa'.ion du quatrième degré, puisqu'il j)eut y avoir quatre solutions du problème, correspondant à quatre valeurs différentes de AX. Et cependant l'équation ne sera que du second degré, parce que dans ce cas l'expression des conditions géométriques ne conduit pas, comme dans le précédent, à des formes identiques.

En cfTel, désignant AX par .r, AY aura comme précé- |

dcinjnent pour expression — '— si X est à droite d(! C, et '

si X est entre A et C. Dans le premier cas, la sur-

face du triangle aura pour mesure .et l'égalant à ni-

on obtiendra l'équation

Dans le second cas, a — x remplace x — «, et la surface

ClIAl'ITltË II. ^g

-axdu triangle aura pour expression ; mais, comme ils

ne doivent pas être élevés au carré, les deux équations ne seront pas les mêmes, et la valeur de x qui lui correspond ne doit pas satisfaire à la première équation. On trouve en . (Ici alors

Enfin, si le triangle se trouve dans l'angle ^ AU', et que l'on désigne AX" par x, on aura

-ax-

la surface du triangle aura i)our mesure , cl Ton sera

conduit à une équation qui ne diflTérera de (2) que par le changement de signe de x, et dont les racines seront par conséquent égales au signe près à celles de (2). Celte dernière aura donc nécessairement une racine négative égale en grandeur à AX", et suffira pour les deux cas, en portant celte racine en sens contraire de la positive.

Le problème conduit donc à deux équations du second degré et non aune seule du quatrième. Ce n'est pas qu'on ne pût prendre une marche telle, que l'on parvînt à une équation du quatrième degré, décomposable dans les deux [)récéden!es, ce qui serait moins simple que de trouver direclemenl celles-ci; mais il y aurait toujours celte différence entre les deux questions, que dans l'une on ne peul séparer les quatre solutions, et qu'en en cherchant une on introduit forcément les trois autres; tandis que dans l'autre question elles se trouvent naturellement séparées en deux groupes représentés par deux équations distinctes, auxquelles on esl immédiatement conduit par l'expression des conditions géomélriqucs.

Uiu. - .Uet/i. III. /^

5o SCIEKCE DE l'ÉTENIUK.

28. LV'qiialion (2), ayant son dernier lerme négatif, a nécessairement ses deux racines réelles : l'une positive qui résout seule la question posée, l'autre négali\e et qui peut servir à résoudre celle qu'on ne cherchait pas. Mais il en est autremenl de l'équation (1 ), dont le dernier terme est positif, et <jui peut alors avoir ses racines imaginaires. La condition pour (pi'elles soient réelles est /«- > 2 «-.

Or ia- est la surface du triangle obtenu en menant une perpendiculaire à AB. C'est donc dans cette position qu'on a le minimum de l'aire du triangle déterminé par une sécante quelconque menée par B. Si m- est plus j^rand, on a deux solutions; s'il est égal à ce minimum, on Irouvipour .£ deux racines égales à "ia.

29. Gchiérdlisdtion de l'expression de la distance de deux points.

Dans les problèmes de Géométrie, oi!i les longueurs des lignes droites jouent le principal rôle, on conçoit que l'on doit avoir souvent à considérer la dislance de deux points connus ou inconnus; et que, par conséquent, quand on traite ces problèmes par 'le calcul, l'expression de cette distance au moven des grandeurs qui déterminent ses extrémités doit souvent se rencontrer. Nous en axons eu des exemples dans le petit nombre de problèmes que nous venons de traiter, et nous avons reconnu que la formule qui la représente change de forme suivant la disposition des points. Cette différence de disposition peut se rapporter aux points donnés ou à des points inconnus; quelquefois on peut la considérer comme donnant lieu à autant de problèmes différents, que Ion peut traiter séparément. Souvent aussi, comme nous en avons vu des exemples, on ne peut isoler ces dillerentes questions, et le résultat cherché d'après l'une des suppositions convient aux aulres, soit complètement, soit a\<'C certaines modidcalions. Mais, dans tous les