CHAPITRE II

les unes dans les autres, et suffiraient par conséquent à la n'solution de tous les trianf^les. Daprès ce que nous avons dit. elles rentreraient dans les trois précédentes, et réciproquement. Mais la forme très diftérenle qu'elles présentent peut les rendre plus commodément applicables que les autres à certains cas. Nous verrons qu'elles ont cependant besoin de transformations assez compliquées pour que les calculs numériques qu'elles demandent soient réduits à la plus i,T^nde simplicité dont ils sont susceptibles. Il v aura un point important à examiner avant de regarder les questions géométriques pour lesquelles on aura formé ces équations, comme ramenées complètement au calcul de ces équations mêmes. Il faudra connaître leur degré de généralité, déterminer avec précision les limites dans lesquelles elles peuvent être emplovées, et les modifications qu'elles subiraient si les valeurs des données ou des inconnues étaient en dehors de ces limites. Sans cela l'emploi de ces équations serait incertain, et leurs conséquences douteuses. Nous n'établirons aucuneyo77nM/e sans la soumettre rigoureusement à cet examen.

GÉNÉRaLISATIOX DKS FOIOIILES PRÉCÉDEXTES.

.,- ^. 1 /■ 1 sinA sm B ,.

.)/ . Nous avons vu que la lormule = — r— a lieu soil

que les angles A et B soient aigus tous les deux, soit que

Tun d'eux soit obtus; mais qu'il n'en est pas de même de

la formule

n-= h'-^ c- — 2bc cosA.

Elle n'a lieu que quand l'angleA est aigu,et, s'il est obtus, le dernier terme change de signe et le cosinus est celui de son supplément.

L'avantage qu'il v a toujours à réunir deux formules en

64 SCIEI^CE DE l'ÉTEIVDIE.

une seule a fait cliercher à quelle condition cela serait possible, et la solution s'est trouvée Lien naturellement.

En effet, le cercle trigonométrique montre que, quand le rayon mobile fait un angle aigu avec le rayon fixe, sa projection, qui est le côté que nous avons nommé co««u5, est située d'un côté du centre, et qu'elle se trouve de l'autre quand l'angle est devenu obtus. Cette dernière projection était le cosinus du supplément; mais il suffirait d'appeler cosinus de l'angle obtus cette projection affectée du signe — , et de la traiter d'après les règles des signes des polynômes, pour que la formule s'appliquât aux deux cas.

On rend donc la formule ci-dessus applicable à tous les cas, en entendant que ces A exprime la projection du rayon qjttand elle est dirigée vers l'origine des arcs, et moins cette projection, quand elle est dans le sens contraire, avec la condition que dans tous les calculs où elle entrera elle sera traitée suivant les règles des signes des polynômes. De cette manière, tout calcul fait en partant de la formule trouvée pour le cas de l'angle aigu donnera le résultat relatif à l'angle obtus, pourvu qu'on ne fasse pas usage de formules où les cosinus devraient être considérés autrement que dans celle-ci. Car, comme nous l'avons déjà dit, les moyens de généralisation ne doivent être emplovés que lorsqu'ils n'introduisent aucune contradiction.

38. ylnirc fonriiile iinportanle qui se géndrdlise par la même coiuidcvation. — Si l'on considère un polygone fermé quelconque, plan ou gaucbe, et que, partant d'un de ses sommets, f)n le parcoure dans l'un ou l'autre des deux sens jusqu'à ce que l'on revienne au point de départ; si, par le premier sommet et chacun des autres, on conçoit des plans perpendiculaires à une droite fixe indéfinie, ils déterminent une suite de segments conligus qui seront les projections des côtés du polygone sur cette droite. Or