CHAPITRE III. 6l
culaire CD sur le coté opposé, on décompose ce triangle en lieux triangles rectangles qui nous feront connaître une relation entre les côtés et les angles du premier.
Il sulïit en effet de calculer le côté CD dans chacun des triangles rectangle?, et den égaler les expressions. On aura ainsi, en désignant par a. h, c les côtés du triangle opposés respectivement aux angles A, B, C,
CD = 6sinA. CD = asinB, d"où afinB = i5inA
ou
sinA a sinB ~ *'
Celle équation ne serait pas changée si la perpendiculaire tombait en dehors du triangle, ce qui arriverait si l'un des angles était oblus, comme dans le triangle A'BG. En effcl, on aurait
CD--^ CA'sinCA'D;
mais, comme le sinus d'un angle est égal à celui de son supplément, on pourrait substituer sinCA'B à sinCA'D, et l'on retomberait sur la formule précédente.
En considérant deux à deux les trois angles d'un triangle, on aura trois proportions ou équations, dont l'une est une conséquence des deux autres, et qu'on peut écrire ainsi :
sinA sinB ?inC
3o. Remarque. — Un triangle étant déterminé par trois de ses éléments, pourvu qu'il v entre au moins un côté, mais ne Tétant pas par deux seulement, on peut avoir trois équations générales entre les six éléments, mais pas davantage, à moins qu'elles ne rentrent les unes dans les autres. On en considère de bien des formes différentes, et pour chaque espèce de question on choisit celle dont l'application est la plus commode. Mais il ne faut pas oublier que de
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trois de ces équations on pourrait déduire toutes les autres ; car, s'il existait seulement quatre équations dont aucune ne rentrerait dans les autres, il suffirait de connaître deux éléments d'un triangle pour que les quatre autres fussent déterminés, ce qui est faux.
Si donc aux dernières équations on joignait celle qui exprime que la somme des trois angles est égale à deux droits, on en aurait trois, ne rentrant pas les unes dans les autres, et qui suffiraient à la rigueur, mais ne seraient pas les plus commodes dans tous les cas. Mais par diverses transformations on peut en déduire d'autres dont l'emploi est très avantageux, lorsque les premières seraient très peu commodes.
36. ylutres équations entre les côtés et les angles. — On a démontré que dans un triangle quelconque ABC {fig. iii), si l'angle A est aigu et qu'on abaisse de B une
perpendiculaire BD sur AC, on aura
a- = b--^ c- — 26. AD = 62( £.2 — 26c cosA,
cl (jue si A est obtus on aura
«2 = b-i -v c"- -T- 26. AD = 6^— c2 — aôccosBAD.
Dans le premier cas, c'est le cosinus de l'angle A qui entre dans l'équation; dans le second, c'est le cosinus de son supplément. Les deux autres H et C donneront des formules analogues, et l'on aura ainsi trois nouvelles équations entre les côtés et les angles d'un triangle, qui ne rentreront pas
