CHAPITRE III

déterminée arbitraire, par les directions des côtés, dans le sens où ils sont respectivement parcourus, l'équation générale qui existera entre ces quantités sera

<7 cos a -^ 6 cos o -^ c cos Y -T- . . . =0.

On emploiera celte équation dans tous les calculs demandés par les questions auxquelles on aura à l'appliquer, et il ne sera jamais nécessaire de faire la distinction entre les angles aigus ou obtus : on ne le fera que quand on voudra appliquer à des cas particuliers les résultats du calcul général.

39. Si tous les angles ou arcs étaient compris dans le premier quadrant, la généralité des formules n'offrirait aucune difficulté et n'aurait besoin d'aucune discussion. Mais, soit pour les cas ordinaires de la résolution des triangles, soil pour des applications plus étendues, il est nécessaire de considérer des angles plus grands qu'un et même que deux angles droits. Il est donc indispensable d'étudier les modifications que subissent toutes les formules quand les angles qui v entrent prennent toutes les valeurs de zéro à rinfini, et de les réduire chacune à un seul Ivpc d'où se déduisent, par des procédés concordants entre eux, toutes les variétés correspondantes aux diverses valeurs des angles. l'ar là un seul calcul renfermerait tous les cas différents pour chacun desquels il en faudrait un spécial; et ce ne sera que dans le résultat final qu'on aura besoin d'introduire les conditions propres à chaque cas particulier.

Dans tout ce qui précède, nous avons pu remarquer que les changements de signe des termes des formules trigonométriques ou autres se trouvaient liés à des changements de sens des grandeurs considérées dans l'espace ou dans le temps; el ce n'est pas une chose qui doive beaucoup surprendre, parce qu'il résulte souvent de ces changements que des additions se changent en soustractions, et récipro-

68 SCIENCE DE l'étendue.

quement. Nous devons présumer qu'il en pourra êlre de même pour les formules que nous avons à étudier; et, pour le reconnaître quand il y aura lieu, il est utile de faire préalablement un examen détaillé de tous les changements qui s'opèrent dans le sens que les lignes avaient lorsque les angles étaient renfermés dans le premier quadrant, et qu'on leur donne ensuite un accroissement continu illimité. C'est à cet examen que nous allons procéder.

DES CHANGEMENTS DE DIRECTION QUE SUBISSENT LES LIGNES TRIGO- NOMÉTRIQl'ES QUAND l' ANGLE VARIE INDÉFINIMENT DANS LE MÊME SENS.

0. Des sinus. — Les arcs partant de l'origine A t croissant dans le sens AB.V, les sinus sont d'abord situés du même côté de AA' que le point B, et ils continuent à l'être jusqu'à ce que l'angle variable MOA, ou l'arc qui le mesure et que nous désignerons para:, soit devenu égal à t:. Le sens du sinus est irn^erse quand a; est entremet ait; il revient dans le sens direct quand x est entre 271 et 3it, et ainsi de suite indéfiniment.

En général, si l'on désigne par a un angle quelconque compris entre o et deux droits, ou un are entre o et it, et par n un nombre entier, la formule des arcs avant leurs sinus dans le sens direct sera

X == 2.nT. -^ a, et elle sera, pour le sens inverse,

41. Nous avons déjà reconnu que deux arcs suppléments l'un de l'autre, c'est-à-dire dont la somme est it, ont le sinus égal et de même sens; mais on peut dire plus généralement qu'il en est ainsi pour deux arcs quelconques dont la somme est (an -f- i )~. En effet, si l'on désigne para l'un des deux, qui peulavoir une valeur aussi grande qu'on voudra, l'autre aura pour valeur (2« + i)t: — a. Or, en

ciiAPiTnE iii. (19

portaiU d"abord ( an + i )- à partir de A, on tombera sur A', et pour relrancher a il faudra le porter, à partir de A', dans le sens A'BA, qui est l'inverse de celui dans lequel on a porté le premier arc a à partir de A. Les extrémités de ces deux arcs égaux seront donc sur une même parallèle au diamètre AA', et par conséquent les sinus des deux arcs proposés sont égaux et de même sens. Si la somme était ■2 ht. au lieu de (an -+- i)-, les deux extrémités seraient sur une perpendiculaire à AA'; les sinus seraient égaux et de sens contraire, et les cosinus seraient égaux et de même sens.

42. Réciproquement, si les sinus de deux ares sont "égaux et de même sens, c'est-à-dire si leurs extrémités M, Al' sont sur une parallèle à A A', la somme de ces arcs est un multiple impair de t:. En efTet, si l'on désigne par a l'arc qu'il faut parcourir à partir de A pour parvenir à celui tles deux points AT, M' qui en est le plus voisin, l'extrémité de cet arc sera évidemment dans le premier ou dans le troisième quadrant; l'arc x terminé en ce point M sera compris dans la formule %n--\-a qui renferme tous les arcs possibles terminés en M; l'arc x' terminé en M' sera <'gal à un certani arc terminé en M, plus AIM'. Or, AIM' sera égal à - — ia si M est dans le premier quadrant, et égal à t: — 2(f/ — r.) ou 3- — 7.a si M est dans le troisième quadrant. Les deux arcs X, x' terminés en JI et M' ont donc pour expression

générale

dans le premier cas, et

x' = 2 n'i: -i- a -- 3 - — 2 a = 2 ( rt' -f- i ) - -- " — a,

d'où l'on voit que la somme des deux arcs est 1111 iiiiilti|)le

impair de —.

i'-]. Deux arcs dont la di(r(''rence est un iniillipli' impair de T. ont leurs extrémités diamétralement o|)pos('es; leurs sinus sont donc éjraux et de sens contraire.