SCIE>CE DE L ÉTENDIE

Il est inutile de dire que, si la différence est un multiple pair de tt, les sinus sont égaux et de même sens, puisque alors les extrémités des arcs coïncident.

44. Les tangentes. — Les tangentes commencent par être dans la partie du plan que nous disons au-dessus de AA', et cela subsiste tant que l'extrémité de l'arc est dans le premier quadrant; c'est là ce que nous appellerons leur sens direct. Elles deviennent de sens inverse quand l'arc

est entre - et —, redeviennent directes quand l'arc est 2 '

entre t: et — ^j et inverses entre — ^ et 2—. Ouand l'arc croit

indéfiniment, la position de son extrémité dans les quatre /quadrants donne lieu périodiquement aux mêmes conséquences.

4o. Les séciintes. — En picnanl pmir le .sens direct d'une sécante celui de la droite décrite par un point qui partirait du centre et marcherait vers l'extrémité de l'arc, et pour le sens inverse celui du prolongement opposé de la même droite, on voit que le sens de la sécante est direct

(juand l'arc est conq)ris entre o et ^7 inverse quand l'arc est

4(5. Les cosinus. — Nous a\ons d'aliord considéré les co. sinus comme les côtés des triangles rectangles qui étaient la projection du ravon mobile sur le rayon fixe, et nous avons immédiatcniciil reconnu qu'il était le sinus du cdin-

plément de l'arc cpiand ce dernier était entre o et -• Cet

arc complémentaire a son origine en B, et serait décrit par le mouvement d'un point qui marcherait en sens inverse de celui qui décrirait l'arc ayant son origine en A. Voyons

CHAI'ITKE III.

si ces deux points de vui; des cosinus pouvont èlre continués indéfinimenl.

Et d'abord v a-t-il lieu de considérer un complément pour un arc plus grand que -? Ce ne peut être qu'en appelant complément un arc pris avec le signe — et tel, quajouté au premier suivant la règle des signes des polynômes,

on trouve pour résultat -• Le désir de généraliser a conduit à envisager ainsi les coinpli'inenls d'aiTs qiicl((iii([n('-i : iU seront représentés par les arcs compris entre lorigine B et l'extrémité variable des premiers; et ces arcs, comptés en sens inverse du sens BA, qui était celui des compléments

des arcs moindres que -> seront regardés comme négalils.

Il est facile maintenant de reconnaître que le sens de ces cosinus, considérés comme les sinus des compléments ayant B pour origine, sera toujours le même que celui de la projection du ra>on mobile, et que les deux points de vue reconnus dans le premier quadrant subsistent quelle que soit la grandeur de l'arc; nous croyons inutile d'entrer dans plus de développements à cet égard.

■47. Avant introduit les arcs négatifs pour les compléments des arcs, il était naturel de les introduire pour les arcs eux-mêmes, et l'on a considéré ceux-ci comme négatifs lorsqu'ils étaient portés à partir de A dans le sens indéfini de A vers B'. Les compléments de ces arcs seront les arcs

jiositifs plus grands que ^ partant de B et dirigés dans le sens BA; comme les arcs positifs partant de A et jjIus grands que -> et les arcs négatifs parlant de lî. étaient compléments l'un de l'autre.

Nous venons donc d'introduire les quantités négatives

ya sciEiiCE DE l'étendue.

isolées dans la considération des arcs, mais pas encore dans celle de toutes les lignes trigonométriques. Nous ne le faisons jamais qu'en vue de la généralisation des idées et des formules. Nous avons eu une raison pour les arcs, et une plus forte encore pour les cosinus. La coexistence de ces deux admissions va en nécessiter de nouvelles, et nous arriverons enfin à la généralisation de toutes les formules de la Trigonométrie au moyen des signes de toutes les lignes, attachés invariablement au sens dans lequel elles sont dirigées.

48. Nous avons généralisé la formule fondamentale a- = h- -\- c- — 2/;ccosA, en regardant le cosinus comme égatif quand il est dirigé dans un sens conti'aire à celui u'il a lorsque l'arc est moindre qu'un quadrant. Nous avons envisagé cette ligne sous deux points de vue, et nous avons reconnu qu'il v a identité en grandeur et en direction entre la projection du rayon qui engendre les angles et le sinus du complément positif ou négatif de ces angles, ce qui a conduit, en ne considérant que les grandeurs absolues, à l'équation

cos.r = sin ( - — arU on ros ( 3") = sina;;

mais, si l'on veut qu'elle soit générale, tant pour la gran- J

deur que pour le signe des membres, il faudra considérer I

les sinus comme susceptibles de signes ainsi que les cosinus, les regarder comme de purs nombres quand les angles sont plus petits qu'un droit, et comme négatifs quand ils J

sont do sens opposé à celui iprils ont dans ce |)reinier cas. ]

A cctle condition sciileniciil , i<i forniiilc piéc<'Hl('nte sera générale, et nous racxcjiloiis.

49. Examinons iniiiiili-rninl loules les équalious ti'ouvées entre les lignes trigonométriques d'un même angle, et remarquons d'abord que si deux arcs sont égaux et de

cirAPiTUE ni. fjZ

signes contraires, leurs exlréinilés sont symétriques par rapport au diamètre AA', et que, par conséquent, leurs sinus sont égaux et de sens contraire, ainsi que leurs tangentes, mais que leurs cosinus sont égaux et de même signe, de sorte que l'on a

sin( — x)= — sina-, cos( — ar)=cosar, lang( — x) = — tangâ;,

et comme on ne change pas les lignes trigonométriques en ajoutant un nombre entier de circonférences aux arcs,

sin(2nT — x) = — sin(2n'- -f- a;), cos(an- — x) = co? (a/i'ir ~ x), tang(2«- — X) = — tai)g(2rt'- -^ x).

Considérons maintenant l'équation tanffx ^ j obte-

nue en ne considérant que les valeurs absolues; elle donnera pour tangx une valeur positive lorsque sinx et cosx seront de même signe, c'est-à-dire quand l'extrémité de l'arc entièrement arbitraire, quant au signe et à la grandeur, se trouvera dans le premier ou le troisième quadrant, auquel cas le sons de la tangente est direct. Au contraire, si cette extrémité est dans l'un des deux autres quadrants, le sinus et le cosinus sont de signes difTérents, et l'équation donnerait pour tangar une valeur négative, mais aussi le sens de la tangente inverse. Donc on généraliserait la dernière équation en considérant les tangentes comme positives ou négatives, suivant que leur sens est direct ou inverse.

aO. L'équation sécx= •* donne pour sécx une va-

' cosx '

leur positive quand l'extrémité de l'arc tombe dans le premier ou le quatrième quadrant. Or, c'est précisément dans ce cas que la sécante est dans le sens direct, c'est-à-dire dirigée du centre vers l'exlrémilé de l'arc. Dans les deux autres quadrants, l'équation donne une valeur négative

174 SCIKNCE DE l'ÉTEJVDX'E.

pour sécx; el alors le sens de la sécante est inverse. L'équation précédente devient donc générale en regardant les sécantes comme positives ou négatives, suivant que leur sens est direct ou inverse.

51. Nous crojons inuliie de reproduire les mêmes remarques pour les autres formules, et nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Toutes les équations tii^ononwtrujues obtenues jusqu'ici sont générales quels que soient les signes et les grandeurs des arcs, en regardant toutes les lignes trigononiétriques comme de simples nombres lorsqu'elles sont dans le sens direct, et comme des nombres affectés du signe — quand elles sont dans le sens inverse; avec cette condition expresse, qu elles seront traitées d'après les règles des signes des j}olj nôrnes.

On voit qu'il n'y a aucune règle de signes à démontrer, ni aucune question à faire sur les opérations à effectuer sur ces quantités négatives isolées, puisque la condition de généralisation des équations est qu'elles soient traitées suivant les règles établies sur les quantités non isolées. C'est en les traitant ainsi qu'une seule formule convient à tous les cas, et que les résultats de cette formule unique fournissent tous ceux de ces divers cas, tels qu'on les obtiendrait en les traitant spécialement par les formules diverses (|iii leur conviennent.

FOHMII.KS (lÉ.NÉUALES QUI EX^IUMI■^ST LE SINUS ET LE COSINUS DE LA SOMME OU DE LA DIFFÉRENCE DE DEUX ANGLES.

o2. Les formules qui servent de base à presque toutes les transformations Irigonomélriques sont celles qui expriment le sinus ou le cosinus de la somme ou de la différence de deux angl^ ou arcs, au moyen des sinus el co-