COS A

^bc

\bc

cos —

■>(/> — a) bc

expression calculable par logarithmes.

On aurait pu trouver de même sin— 1 et par suite tang- •

Nous ne parlerons pas des autres cas do la résolution des triangles qui n'exigent pas de transformations.

APPLICATION DES FORJIILES TRIGO.XOMÉTRIQLES A LA DIVISION DES ANGLES.

G8. Lorsque Ion a trouvé une équation entre les lignes Irigonomélriques de deux angles dont lun est un multiple entier de l'autre, on peut également considérer comme inconnues celles de l'un ou de l'autre, et se proposer ainsi deux problèmes inverses.

Nous avons dit qu'il était facile de trouver les expressions générales du sinus et du cosinus d'un multiple entier d'un arc quelconque, et nous les avons données pour les premiers multiples. Voyons maintenant comment on peut résoudre

go SCIENCE DE l'i^.te^dle.

la question inverse, et proposons-nous, par exemple, de trouver le sinus du tiers d'un arc dont le sinus est donné. La discussion complète que. nous en ferons montrera suffisamment l'esprit de la méthode dans tous les cas.

Nous avons trouvé précédemment la formule générale

(a) sin3« = 3sinn — 4s'"'">

et il ne faut pas oublier que l'arc a est arbitraire, positif ou négatif, et pouvant renfermer un nombre quelconque de circonférences. L'arc 3rt peut donc lui-même être pris arbitrairement ; a en désignera toujours le tiers, et les nombres représentés dans l'équation par sina, sinSn, seront Iles sinus de deux quelconques des arcs correspondants a, '6 a, entendus comme nous l'avons fait pour la généralisation des formules. C'est sur ces considérations que repose essentiellement la discussion qui va sui\Te, et toutes celles auxquelles donnent lieu les questions relatives aux sections angulaires.

Posant

sinia = m, sina = a',

l'équation (a) devient

m est la donnée, et x l'inconnue.

La résolution de cette équation rentre dans ce que nous avons dit dans la Science des nombi'es, et l'on reconnaît facilement qu'elle a ses trois racines réelles. Mais ce qui va nous occuper particulièrement, c'est l'interprétation de ces trois racines. Nous allons montrer que, d'après la signification précise que nous avons donnée à m et x, l'équalion en X doit être du troisième degré et avoir ses trois racines réelles, représentant les sinus d'arcs complètement définis.

Commençons par remarquer que, m étant donné en