CHAPITRE III. gi

grandeur et en signe, il v a une infinité d'arcs correspondants, positifs et négatifs. Si l'on désigne par 9 l'un quelconque d'entre eux, il est facile d'exprimer gcnéralcnienl tous les autres. En effet, leurs extrémités se confondent avec celle de 9, ou sont avec elle sur une même parallèle au diamètre fixe du cercle irigonométrique. Les premiers sont tous renfermés dans la formule générale

Les autres, d'après une discussion faite précédemment, sont renfermés dans la suivante,

n et n' désignant des nombres entiers quelconques. Les tiers de tous ces arcs seront représentés par les deux formules suivantes :

et, d'après ce que nous avons dit en commençant, les sinus de tous ces arcs doivent satisfaire à l'équation générale (a), c'est-à-dire à l'équation en x. Or, les nombres n et x sont nécessairement ou divisibles par 3, ou des multiples de 3, r± 1 , de sorte que, si l'on supprime des dernières expressions les circonférences entières, il ne restera que les six arcs

0 0^27: T. 0 . iT.

Les sinus de ces six arcs satisferont à l'équation en x, et il ne pourra y en avoir d'autres.

Or, les trois premiers ont pour extrémités trois points de la circonférence distants les uns des autres du tiers de la circonférence : leurs sinus sont donc généralement inégaux. Il en est de même des trois autres; mais les valeurs

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de leurs sinus rentrent dans les premières, car les trois arcs

ajoutés respectivement aux trois autres dans l'ordre suivant :

71 — 6 27; t: — 0 77 — 0 -AT.

donnent v. ou — 7t. Il n'y a donc à satisfaire à l'équation en X que les sinus des trois arcs

nui seront les racines de l'équation entre /n elx. On sait donc, avant de chercher cette équation, qu'elle doit avoir trois racines réelles dont on connaît la signification; et si elle est trouvée de manière que m et x soient sûrement les sinus d'un arc et de son tiers, elle ne pourra avoir aucune autre racine réelle que les trois que nous avons indiquées. Cette discussion, faite avec beaucoup de détail, suffit pour bien faire comprendre la méthode à suivre dans tous les cas, et nous nous écarterions de notre objet en multipliant les applications.

DK LA TRIGONOMÉTRIK SPIIÉRIQL'E.

GO. On appelle Iriangla sp/irriqur^ la figure formée sur la surface d'une sphère par trois arcs de cercle, et l'on ne considère ordinairement que des arcs de grands cercles. Lorsque deux courbes quelconques se coupent, l'angle de leurs tangentes au ])oint commun est appelé Vangle des courbes. D'après celte définition, l'angle de deux arcs de grands cercles sera l'angle formé par les perpendiculaires au rayon mené du point commun, Iccpu^l mesure l'angle des plans de ces grands cercles.