CHAPITRE IV

ÉQUATIONS POLAIRES DONT LES LIEl'X PEUVENT AVOIR TOUS LEURS POLNTS CONSTRUITS PAR DEUX SYSTÈMES DIFFÉ- RENTS DE VALEURS DES COORDONNÉES. — RAYONS ^TC- TELUS NÉGATIFS.

123. Les forniiiles pour jiasser diin système de coordonnées rectilignes à un système polaire donnent lieu à des remarques importantes.

A la seule inspection des formules (9) du n° H6, on reconnaît que si, en donnant à es et /• les valeurs particulières 3), /'i, on a eu un certain système de valeurs pour x, V, on obtiendrait le même svslème, et par conséquent le même point, en donnant à a et à /'les valeurs o, ±7: et — • /•, ; parce que, dans les formules (9), le facteur ;• et le facteur trigonométrique changeraient en même temps de signe sans changer de grandeur, et que, par suite, le produit serait le même.

Cela posé, soit Féqualion d'un lieu en coordonnées rectilignes (i) V (.T,yj = o;

son équation polaire sera

^r rsin(6 — ts — ai , rsin(o -^ i)~\

^ ' L *'"" sine J

et nous avons vu qu'en prenant seulement les valeurs positives de r, l'équation (2) donnerait tous les points du lieu représenté par l'équation (i). Mais, d'après la remarque précédente, si (2) est satisfaite quand on y fait

cHAi'iTv.i; n . 169

elle le sera quand on v fera ,

Ce résultat de ptir calcul donne lieu à celle reniar<|ue géométrique inqjortante, que le même point correspondant à a = o,, /■:—/•, sei-ait construit en prenant o ^ <f, ±~, qui donne la direction opposée à celle que donne a,, et portant la solution négative — /,, que donnera nécessairement Téquation (2), dans un sens contraire à la direction correspondante à csj rb 7t.

l;2'i. Il v aura deux manières de construire cliacun des points du lieu de l'équation (a) : l'une en considérant les valeurs positives de r elles portant dans la dii'ection déterminée par la valeur correspondante de a; Taulre en admettant les valeurs négatives de /■ et les poitairt en sens contraire de la direction déterminée parla valeur de a qui les a fournies.

On pourra se borner à un seul de ces procédés, et alors, pour avoir tous les points du lieu de l'équation (1), il faudra <jue l'angle rs passe par toutes les valeurs de o à 27:. Mais, si l'on admet les solutions négatives comme les positives de l'équation (2) pour l'inconnue /•, il suffira évidemment de faire varier a de o à t.,

Observations sur la proposition précédente.

125. Il ne faut pas oublier que la double construction pour chaque point n'a été démontrée qu'en considérant i'équation polaire telle qu'elle est obtenue immédiatement par la substitution des valeurs de x et r en r et », et entendue avec les mêmes restrictions que pourrait comporter l'équation (i).

Si donc on transforme d'une manière quelconque cette équation, il faudra s'a'.isurer si l'on a bien le même résul-

tal en faisant, une même substitution à /el es dans cette dernière ou dans la transformée.

Il n'y aura aucun doute à cet égard si F(x, j') est une fonction entière ; les multiplications et les élévations aux puissances seront les seules opérations à exécuter sur les expressions

a-^ !— .- • et b-. ^ ■' ,

sini) sint)

et les résultats seront les mêmes quand on remplacera ç et /-par des valeurs quelconques, avant ou après qu'on aura exécuté les opérations indiquées par la fonction F.

Mais supposons que, dansF (j?,j'), il se trouve un radical du second degré assujetti à être pris positivement, c'està-dire que le résultat numérique du calcul soit précédé du signe -l-.'Si sous ce radical il n'y a que des puissances paires de oc, v, comme, par exemple, -f- \Jmx'- -+- ny-, et que les formules de transformation soient simplement

a:=/-cos!5, )' = /-sino,

le radical deviendra

/?i/'-'C0S^(5 -(- Xr-SMi'f),

et restera le même quand on mettra '-p -t- ~ et — /• au lieu de cp et /-.

Or, si l'on avait fait passer le facteur /•'- hors du radical, on construirait encore le lieu proposé en écrivant pour le radical

/■/m cos-ç -^ xsin-o,

en entendant que /• est pris positivement. Mais il est clair (pie ciianger -c et /• en » -H ti et — /• ne donnerait plus le même résultat qu'en laissant r- sous le radical; et alors il ne serait plus vrai cpie les points du lieu pussent être con-

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slruits des deux manières : il faudrait pour cela (]iio le radical pût èlre pris avec le double sii^ne.

Celte simple observation sul'fira quelquefois pour lever des difiicultés provenant de ce que l'on ne se sera pas bien rendu compte des conditions d"une cpiestion.

126. Le t/icorènu: de la double consituclion ne s'applique (juà l' équatiun traiisJ'orinée.,coniplcl.e.

Nous avons démontré quen faisant usage de l'équation (2) on pouvait construire chaque point par deux svslèmes différents de solutions ; mais, si cette équation était décomposée en plusieurs autres, la proposition n'aurait pas lieu pour chacune d'elles séparément. liUe n'a été démontrée que pour l'équation qui les renferme toutes; et il n'en serait autrement que dans des cas tout à fait exceptionnels.

C'est ce que nous allons éclaircir par (juel((UfS exemples.