Considérons d'abord l'équation de l'ellipse

En prenant pour pcMe le fover dont les coordonnées sont

et l'axe polaire dans le sens des x positifs, l'équation sera

( a' c- cos- -i ) r- ■xb'^ cr ros 'i — b' - o,

et l'on voit que, si /■ et c; forment une soluiioii de cette équation, — /• et es -|- — en formeront une autre. Alais le premier membre est décomposable en deux facteurs du premier degré en r, qui, égalés successivement à zéro, donnent pour r les deux valeurs suivantes :

ftî bi

a-r-fcoss — a-i-ccos<s

1^2 ÉTUDE DES COURBTÎS.

Si l'on considère lune quelconque des deux, par exemple la première, on voil que, si elle salisfaite par un système de valeurs de /■, et -^i, elle ne le sera pas quand on changera o, en 'J| + -, et /■, en — /-, . Mais alors il faut, d'après ce qui a é lé démontré, que la seconde soit satisfaite, quand on V met pour o et /• les valeurs 'i, -\- izel — r^ ; et, en effet, elle devient ainsi

fl-^CCOSOi (f-t-CCOS!fi

oc qui est exact, puisque o, et /-, satisfont à la première.

Ii28. On remarquera que la première équation

a -- c cos a

donnera toujours pour /• des valeurs finies positives, puisque a est plus grand que c, et qu'au contraire la seconde donne toujours /• négatif. On pourra donc se borner à la première; elle construira le lieu tout entier, en faisant varier c5 de o à 17Z, puisque nous avons démontré en général qu'on pouvait construire le lieu complet de l'équation en .r, r, en donnant à es toutes les valeurs de o à '2—, et ne tenant ci)m|)te que des valeurs positives de /■.

129. Et de même on pourrait se borner à considérer la seconde équation

a — c cos ç

(pii ne donne (pie des \aleurs négatives, car tous les points construits par la pr("mière pouvant être construits par les solutions de la seconde, portées en sens contraires, on obtiendra le lieu tout enliei- en ne faisant usage que de la seconde.

CIIAPITIIF, IV. 173

130. Prenons pour second e\eniple lin peibole a\;inL pour équation

et prenons d'abord pour pôle le sommet tjiii a pour coordonnées y =z o, X = ^- « ; on obtiendra réquation polaire suivante :

r-{a^ sin- œ = b^ cos'o) -- -tab- /cos-i = o.

Le premier membre est le produit de <leu\ facteurs dont l'un est /• et pDur toute valeur de o donnerait pour solution /-^o; ce qui devait être, puisque le pôle est sur la courbe. Le théorème qui s'applique à l'ensemble des deux facteurs s'appliquera donc à l'autre facteur seulement , éj;;dé à zéro; et l'on pourra, par conséquent, v admettre ou n'y pas admettre les valeurs négatives de /■. Dans le premier cas, il faudra faire varier es de o à -; et dans le second, de o à 27:.

La valeur de/' que 1 on en tireest, en posante- — b- = c-,

el l'on reconnaît bien que si '^, et /•, v satisfont, -j, -^ — et — r, y satisferont encore.

Nous allons d'abord la construire en admettant les ra^ons vecteurs négatifs.

En faisant es = o, on trouve /■ = ia. el /resteposilif jus-

([uà ce que» soit parvenu à la valeur dont le cosinus est -•

On construira ainsi la branche infinie partant du sommet à droite et située au-dessus de l'axe des x. L'angle » augmentant, /• devient né"alif, cl, quand il est devenu é:;al à -1

/■ est nul, et l'on a construit la branche infinie située audessous de Taxe des x ot à gauche du sommet pris pour pôle.

1^4 ÉTUDE DES COlIiBES.

En continuant d'augmenter ç, /• redevient positif jusqu'à

l'ançle dont le cosinus est ; et l'on a construit la branche

symétrique de la seconde par i-apport à Taxe des x.

Enfin, a variant depuis une valeur jusqu'à —, /• redevient

négatif et donne la construction de la quatrième branche,

svmétrique de la première.

131. Si Ion avait rejeté les ravons vecteurs négatifs, la première branche construite aurait été la même; mais depuis langle dont le cosinus est - jusqu'à -? les ravons vecteurs étant négatifs, on n'aurait construit aucun point. De - jusqu'à l'angle dont le cosinus est \ on aurait eu

des rayons vecteurs qui auraient construit la brandie qui tout à l'heure était la troisième. De cet angle jusqu'à r. les ravons sont négatifs, et l'on n'aura aucun point. Les deux, branches au-dessus de l'axe seront donc construites quand a variera de o à ;t; les deux autres branches seront données par les valeurs do '^, de t: à lit; et coscs reprenant les mêmes valeurs pour les directions symétriques par rapport à l'axe, ces deux branches seront s\ métriques des premières.

13tî. (^.onsidérons maintenant l'équation polaire de la même courbe en prenant pour pôle le fover dont les coordonnées sont 1' := o, X = — y a- -r- i- = — c; il faudra faire, dans l'équation en .r et r,

x = — c — rcoso, >' = rsino, ce qui donnera

;-i rt- — r-cos-j I — ai-c/'coso — 6' = o. Le premier iiifiiiluc 0--1 le |)n)iluit de deux l'acteurs qui.

(Il MMTRE l\ . 175

égales à zéro, doimi'nl li-s ilcu\ valeurs sunanlcs |>(iiir /■, a -■ c cos œ

— a -+- ccosw

Dans ce cas aucune de ces deux équations polaires n'esl satisfaite parles deux systèmes c2,, /•, et es, H-n, — /"i ; mais si l'une l'est par l'un des deux, l'autre le sera par l'a-utre, comme cela devait être d'après la démonstration générale du théorème.

Les valeurs négatives données pour /• par l'iuie ou laulrc des équations ( i), (2) pourront, comme nous l'avons dit en général, être admises ou rejetées ; et la discussion sera toujours abrégée en les adnw'Uanl. Mais il ne suflira pas dans le cas actuel de faire varier » de o à t. dans Tune des deux, par exemple dans(i), comme dans le cas où l'un des sommets était pris pour pôle; et cela tient à ce que ré(pialion (i) n'est pas satisfaite parles deux systèmes o,, /■, et -j, +- — /-,, tandis que cette condition était remjilie (jiiand le pôle était au sommet.

133. Si l'on construit laeoui]»' au inoven de i'i'ipiation (i), en admettant les valeurs positives et négati\os di! /■, on ('onstruira les quatre branches en faisant arriver ■:. de o à ir..

La branche à gauche de l'axe des y et au-dessus de Taxe des X sera donnée par les valeurs de o comprises entre

es = o, cos es := ) et /• sera positif;

La branche à droite de l'axe des y et au-dessous de l'axe des X, par les valeurs suivantes de -j jusqu'à 7:, et /• sera négatif;

La branche s\ nii'-tri(pie de celli'-ci, jiai- raj)port à l'axe

des X, par les valeurs suivantes jusqu'à cos » = — ■ — ; rsera encore négatif;

Enfin la branche symétrique de la première, par les valeurs suivantes de u jusqu'à 27:, et les valeurs de r seront positives.

De sorte que le signe de /• est le mèinc pour tous les points de deux branches symétriques par rapport à l'axe des X, comme nous l'avions déjà reconnu précédemment.

Autres exemples d'é(iualiuns polaires qui ne donnent pas lieu à la double construction.

134. Dans les exemples que nous venons de donner d'équations polaires dont les lieux ne peuvent être construits par un double système de valeurs, il n'entrait que des lignes trigonométriques de l'angle ç> : nous allons en considérer d'autres où entre l'angle o lui-même.

La spirale d'Archimède, dont l'équation est r = a -^ b's, n'est pas satisfaite quand on change les coordonnées tp et/' d'un de ses points en cp -|- -r: et — /•; donc ses points no peuvent être construits par les deux systèmes de valeurs des coordonnées.

La spirale logarithmique dont l'équation est r = ac' n'est pas non plus satisfaite quand on change les coordonnées tp et /• d'un quelconque de ses points en es + tz et — /•.

On voit, sans qu'il soit besoin de multiplier davantage les exemples, que le théorème que nous avons démontré pour les équations polaires obtenues par la transformation d'une équation, donnée en coordonnées rectilignes, n'a pas lieu pour toutes les équations polaires, et ne doit être apjiliqué qu'avec beaucoup de circonspection.

l3o. Contradiction appnrente. — Mais cela peut donner lieu à la dil'fioulté suivante. iVe pourrait-on pas penser que toute équation polaire peut provenir d'une équation rectiligne, puisqu'on peut d'abord passer du système polaire à un système rectiligne, et revenir ensuite de ce der-

CHAPITBE IV. l-JJ

nier au premier? Alors l'équation polaire projiosée élaiil obtenue par la Iranslbrniation d'une équation en coordonnées rectilignes en une équation en coordonnées polaires. le théorème en question devrait s'v appli(]u<T : et couiniicela n'est pas toujours exact, il semble (ju'il \ ait contradiction entre les propositions établies.

1 SG.Solulionde hi difficulté. — Dans la démonstration que nous avons donnée du théorème, nous avons supposé que les opérations indiquées dans le premier membre de l'équation (2) du n" l!23 étaient entendues de la même manière que dans F(jr, j>') et avec les mêmes restrictions. 11 est donc indispensable d'examiner avec soin les conditions des deux transformations successives, opérées en parlant d'une équation polaire donnée, pour v revenir après avoir passé par une équation en coordonnées rectilignes.

Comme les idées générales s? trouvent dans chaque cas particulier, et s'y reconnaissent plus facilement que dans l'ensemble de tous les cas, pour\ u qu'on ail soin de les faire ressortir et de n'employer les circonstances particulières qu'à leur donner la possibilité de se manifester, nous nous bornerons à considérer les exemples que nous \enons de présenter, d'équations polaires (jui ne (lonneni pas lieu à la double construction.

137. Ellipse. — En prenant pour pôle le fo>er de droite, nous avons trouvé l'équation

.) = /vi.

(jui construit tous les points du lieu et ne donne ipic des valeurs positives pour /•.

Passons maintenant à des coordonnées rectangles, en prenant, pour plus de simplicité, le pôle pour origine, l'axe Din. — Vélh. m. n

iy& ÉTUDE DES COLUBES.

des X pour axe polaire, et posant, par conséquent,

.r = /'costs, 1' = /-siii'i, d'où

= \/x^ -+- J'- et

en substituant dans (i), nous obtiendrons (2) a \/j---T-y'^ -r ex — b- = o.

Arrivé à ce point, on peut rendre l'équation rationnelle ou la laisser telle qu'elle est; examinons ces deux manières de procéder.

1° En faisant dis[)araître le radical, on introduit les solutions correspondantes au signe — du radical et qui seraient précisément celles que donnerait l'équation

r = ou — ar -i- cr cos o = 6^,

— a -T- ccns'i '

qui conduit à

— a \! x- -r- y- -T- ex — b- = o.

On voit donc que l'équation rationnelle enx etjv'ne renferme pas seulement les solutions de l'équation polaire, mais encore d'autres solutions telles, que le retour aux coordonnées polaires donnera une équation jouissant delà propriété de la double construction, parce qu'elle renfermera, outre l'équation polaire proposée, une seconde équation polaire. Ce n'est donc pas la proposée qui jouit de la propriété en question.

2" Supposons que l'on conserve la forme de l'équation (2) et qu'on repasse aux coordonnées polaires, on aura

( 3 ) a /'■- cos- o -+- r^ sin- tp + cr cos a — 6- = o,

équation dont le premier membre est bien une fonction

ciiAi'iTUE IV. i-^g

de /• C0s9 cl /■ siiiO, (lui semble, piir eonsrqiieiil, ne [las devoir changer quand un change -^ et /• en z^ ^ — et — /•, et en même temps n'èlre aut^-e cliose que le pieniier niendjie de l'équation |)i-oposéc

ar -i- cz-costi ■

ce qui conduirait à cette conséquence fausse, que si a, clr, sont une solution de cette dernière, s, -J- t: et — /•, en l'ormeraienl une autre.

L'erreur est bien facile à apercevoir, l-^u efl'el, le radical dans (a) est assujetti à représenter /• et non — /■, sans quoi (i) et (2) ne coïncideraient pas. Si donc on remplace r par — /■, dans (3), le radical devra être aussi remplacé par — /■, ; et par conséquent, si (3) est satisfaite par c; =z -j, et /• ^= /•, , elle ne le sera pas par -^ = ci, + cl /•= — /•,.

On voit donc comment les resirietions (pii se lrou^enl dans la fonction F (jr,j'), quand il s'agit de l'équation (2). changent les conditions qui sont nécessaires à la démonstration du tiiéorème. Ici, en cil'et, le radical dans (3) est assujetti à être pris avec un signe qui dépend de la valeur substituée, tandis que la di^monstration générale de la double construction supposait expressément que la forme de la fonction F restait la même, queUpies valeurs qu'on donnât aux variables.

VAS. Hyperbole. — En prenant le fover de gauche pour pôle, nous avons trouvé deux \aleurs de /•, dont l'ensemble présente la double construction, mais aucune de< deux rula présente isolément. Elles construisent l'une et l'autre la courbe entière en faisant varier a de o à 27: et portant les \aleurs négatives de r dans le sens inverse. 15ornons-nnns

l8o ÉTIDE UES COURBES.

à considérer la suivanle :

( I ) /■ = ! OU ar T (■/■ cos o = b- :

« -i- f <'os œ , '

les rayons vecteurs positifs constiiiironl la partie de la courbe située à gauche de l'axe desj; les rayons vecteurs négatifs, celle située à droite.

Il s'agit d'examiner ce qui arrive quand on passe de cette équation à l'équation en coordonnées rectilignes ¥(x,y) = o, en prenant pour plus de simplicité l'origine au pôle, puis qu'on repasse de cette dernière à l'équation polaire F (/■ cos u, /-sino) := o ; et d'explicjuer pourquoi cette dernière, qui semble présenter la double construction, ne jouit cependant pas de celte propriété, si elle coïncide réellement avec l'équation (i), et que l'on n'ait pas introduit de solutions étrangères.

L'équation (i) donne pour la première transformation

rt y.r'^ -h J'- -f- '■■'■ — /•'- = o. et, pour qu'elle représente exactement (i), il faut que y/a;^ -f-jK" représente toujours /• et non — /•.

Revenons maintenant aux coordonnées polaires. L'équation désignée généralement par F(/'C0SC3, /'sin») ^o sera

(2) o y//-- (os-'i — /■- >in-'i M- cr cos s — b- =z o,

avec cette restriction que le radical y//-'- sera remplacé par /• et non par — r, sans quoi cette équation ne coïnciderait pas avec (i) et les conclusions, quelles qu'elles fussent, ne s'appliqueraient pas à la proposée. Mais cette restriction sur les valeurs du radical fait que la fonction F{x, y) change de forme suivant les substitutions, puisque le terme a\l X- -\-y''- doit changer de signe avec /•. Les conditions de la double construction ne sont donc plus remplies, et il n'y a aucune raison pour qu'elle soit admissible.

CH MITRE IV. ibl

Des raisonnements an;ilogiies se ftîraienl pour la partie de l'Jiypcrbole correspondante auv valeurs négatives de r (pie donne l'équation (i) ; et il ii"\ a lieu à aucuiKMlilïiculté.

Exemples d'ee/uations uùnn/re t angle lui-incnte.

139. Dans les excinplcs pn'cédents, les équations ne renfermaient cpie des lignes trigononiétriques de l'angle»; siqjposons maintenant que l'angle lui-même y entre, et considérons l'équalion

il) F(/-, -i) = (),

dont le premier membre est, par exemple, une l'onction rationnelle et entière quelconque de r et es, et dont on construit les solutions négatives en sens contraire du sens direct. Cette équation ne donne pas lieu à la double construction pour tous ses points : car les deux équations F(r, ,»,):= o et F( — r, , ») + 71) = o déterminent en général un nombre fini de valeurs pour a, et r,. Si, par exemple, on considère r = a-^ — h, ces deux équations

ri = a^i-r-lj, — r, = a(ai -H t:)-;- 6. conduiront à la valeur unique

(1111 donnera

Cela posé, prenons le pôle pour origine et transformons l'équalion (i), an moyen des formules

X = /• cos 'i, V = /• sin 'i, qui donnent

I Jx* -V- V2

■ = /x2-i-7«, <s = arc <

sin -y

l82 ÉTtiDE DES COURBES.

celte dernière notalion indiquanl l'arc qui a pour co-

et pour sinus —

Nous obtiendrons ainsi pour t'(piation du même lieu en coordonnées rectansles

(2) FI ^/.r'^H-j--, arc

el il ne laiiL pas onijlier que, dans les termes provenant de /•, le radical y/. r- + j- sera positif ou négatif, suivant que la valeur de /■ donnée par l'équation sera elle-même positive ou négative; mais que, dans les termes provenant de tp, \/x'^-\-y''^ doit être pris en valeur absolue, x et j étant les coordonnées positives ou négatives du point que l'on considère : car c'est ce que nécessitent les formules

a: = y/ j^-- -T- j'^ coso, J' = ^/.^■- -t- j'- sintp.

Le premier mendjre de l'équation (2) est donc assujetti à quelque restriction, puisque le radical qui y entre ne doit pas être partout pns avec le même signe. La démonstration faite dans l'hvpolbèse où une même expression représente partout la même chose ne subsiste donc plus nécessairement, et ses conclusions seraient généralement eriom'es. ('>"('sl ce que nous allons leconnaître en essayant de l'appliquer à l'écjualion (2).

Si, en effet, on veut transformer celte é(pialion en coordonnées polaires, au moyen des formules 3" = r eus (6, r = /• sin rs.

on obtient d'aliord

/ / ^,^g rcostf >

/ , \ 1/ r'^ cos'^ a -h r^ Ain'' tf \

(3)F( //-^cos^tf -^ /-^siii^o, arc ' ^ ^ ] = o.

' ' ' /■ sin tp /

y//'^ cos-<p -t- r^sin^tp/