CENTRE ET DIAMÈTRES COXJIGUÉS

10;2. Si Ion remarque que {x — m)- aura des valeurs égales pour ic — »i = d= a ou ^ = /n ± a, quel que soil y., et que, par suite, le radical et les longueurs à jjorter à partir du diamètre seront les mêmes, on voit que si Ton prend GP'=CP,d'oùQO — Q'O, les quatre points M, M', N, N' correspondants de la courbe seront les sommets d'un parallélogramme dont deux côtés seront parallèles à l'axe des »' et les deux autres au diamètre. Ses diagonales passeront par le point constant O, où elles seront coupées en deux parties égales. L'ellipse jouit donc de cette propriété que si l'on joint un quelconque de ses points au point O, et (ju'on prolonge cette ligne d'une tjuantitéégale en s ens contraire, on a encore un point du lieu .

Relativement à toute courbe, un point qui jouit de cotte propriété se nomme centre.

L'ellipse a donc un centre ; il est sur le diamètre ; ses coordonnées x,y ont pour valeurs x^ := m et j', = — — 1 ,

ou, en remplaçant m par sa valeur,

b- — \(ic

Il est facile de voir que l'ellipse ne peut avoir qu'un seul centre; car si elle en avait deux, la corde qui passerait par ces deux points devrait les avoir l'un et l'autre pour milieu ; ce qui est absurde.

On démontre en Géométrie une proposition très générale à ce sujet. Elle consiste en ce qu'une courbe qui a deux centres en a une infinité situés à des distances égales à la droite qui les joint; et qu'elle peut être coupée en une infinité de points par les droites parallèles à la ligne des centres. Il ne peut donc y avoir qu'un seul centre, au plus, DiD. — Mcih. m. ,/

2IO ÉTUDE DES COUr.BES.

pour les courbes qui ne peuvent avoir qu'un nombre fini de points en ligne droite : ce qui est le cas de toutes les cowb es du second deurr.

Le diamètre des cordes parallèles à l'axe des j-, passant par le centre de l'ellipse, et la direction de cet axe étant arbitraire, tous les diamètres de l'ellipse passent par son centre.

163. Une autre propriété très importante résulte encore de ce que le point O est le centre du parallélogramme NM'N'N : c'est que les milieux des côtés MN, M'N' seront situés sur la ligne indéfinie CO, parallèle à l'axe des y.

Cette droite sera donc le lieu des milieux des cordes parallèles au diamètre UV, et par conséquent le diamètre de ces cordes.

Les deux diamètres [J\ , COC jouissent donc de celte propriété remarquable, que cliacun d'eux est le diamètre des cordes parallèles à l'autre : c'est ce qu'on appelle un système de diamètres conjugiu's.

Et comme l'axe des j' a une direction arbitraire dans le plan, on peut énoncer cette propriété générale :

'Tout (lirinirtre de l'ellipse n un conjugué.

164. Deuxième cas. — Passons au cas de è'- — ^ac'^o. devient, en faisant b- — ^ac^=k^.

Il faut mainletianl distinguer deux cas dépendant du signe de la somme des termes qui suivent (x — m)-.

CHAi'iïiiF. vr.

Supposons-la d'abord positive, el posons

nous aurons

/jx—d . /

la xd

et il est évident que toute valeur de x donnera des valeurs réelles pour r et, par conséquent, des points du lieu.

La droite r^ sera encore le diamètre des cordes

parallèles à l'axe des y; mais la courbe ne le rencontrera pas, parce que le radical ne saurait devenir nul. Sa valeur

minimum correspond ik j" = m el est é^ale à — ■ Les deux

points ainsi construits sont donc les plus rapprociiés du diamètre ; et si par chacun d'eux on mène une parallèle à ce diamètre, il n'y aura aucun point du lieu entre ces deux lignes. Et comme le radical croit sans limite à mesure que X s'éloigne de /?î, dans l'un ou l'autre sens, le lieu est composé de quatre branches indélinies dont les points s'éloignent indéfiniment du diamètre, en même temps qu'ils s'avancent indéfiniment dans le sens des x positifs ou négatifs. Les deux branches d'un même côté du diamètre forment un lieu continu, cl le lieu total se compose de deux parties indéfinies dans deux sens, el entièrement séparées de l'une l'autre.

Cette courbe se nomme hyperbole.

Vovons maintenant ce qui arriverait si l'on avait

— m- + -Ti -r^ = — ]>-■

b- — \ac '

L'équation du lieu deviendrait

bx-

y.ia' ÉTUDE DES COURBES.

Il faut alors, pour (|uc >' soit réel, que Ton ait

Le radical est nul pour x — m^±p; ainsi la courbe coupe son diamètre aux deux points correspondant à .r = ni àzp. Entre ces deux valeurs, le radical serait imaf;inaire, et, par conséquenl, il n'y a aucun point du lieu entre les deux parallèles à Taxe des )• correspondant à ces abscisses. Mais, si .r s'éloigne indéfiniment de l'une et de l'autre dans l'un et lautre sens, le radical est toujours réel et va en croissant indéfiniment, de sorte que le lieu complet de l'équation a encore quatre branches indéfinies appartenant deux à deux à deux parties continues entièrement séparées l'une de l'autre : on l'appelle encore //>jirrbole.

Enfin, si l'on avait — m- + ,- ^— ^ = o, les deux va-

o- — ^ac

leurs dey seraient du premier degré et présenteraient deux droites se coupant sur le diamètre.

Cela posé, nous allons continuer la discussion sans faire de distinction entre les deux cas, et nous écrirons comme il suit la valeur de )■

(4) V = ± — ^{x — my--i- q,

q pouvant être positif ou négatif.

i6o. Centre et diamètres conjugués.

Les projjriétés de l'hyperbole se reconnaîtront identiquement comme pour l'ellipse. Les deux valeurs x =^ m± a, quel que soit a, donneront une même valeur au radical; et les quatre points du lieu qui en résulteront seront les sommets d'un parallélogramme dont le centre aura pour abscisse m, et dont les côtés seront j)arallèles, les uns à l'axe des j', les autres au diamètre.

CHM'ITHK VI. 2l3

11 r(''.siillera de là que, si l'on juinl un [khiiI i|urlr(>nque du lieu au point constant du dianièlre, a\auL m pour abscisse, et quuii prolong;e celle ligne d'nncquanlité égale, on obtiendra encore un jioint du lieu, ('c point constant du diamètre est donc crntir de la courlic.

Les coordonnées .r, i ont pour valeurs, comme dans le

cas de l'ellipse, '

■xae — i>(/ icd — he

b- — l^ac

166. Les côtés du parallélogramme <pii sont jiarallèles au diamètre ont évidemment leurs milieux sur la parallèle à l'axe des y menée par le centre.

Celle parallèle est donc le diamètre des cordes parallèles au premier.

Ces deux diamètres sont donc tels, que chacun d'eux est le diamètre des cordes parallèles à l'aulre, cl jiar conséf[ucnt ils sont conjugués.

D'après ce que nous avons reconnu, l'un des dcu\ seulement rencontre rhv|icrbolc.

167. ylsjmptotcs. — Si dans Fcipiation ( ^') on supprimait le terme y, on aurait

, -, hx -^ cl , k(x — »! )

la 2«

équation qui représente deux droites qui coupent le diamètre au point dont l'abscisse est m, e"esl-à-dirc au centre de l'hvperliole. Ces deux droites jouissent de celte pidjuiclc remarquable, que les quatre branches de l'inperbole s'en ap])rochent indéfiniment sans jamais les atteindre.

Pour le démontrer, considérons dans (4) et (5) les partics afTeclces du signe i!r, qui ex|)rimcnt ce (nie l'on doit porter de part et d'autre du diamètre. F. a difrércnce de Icui's

carrés est 7-^7 et par cons<''ciueiil conslanle. Mais en don- 4«- ' '

2l4 ÉTlnE nES COIRBES.

nant à .r des valeurs indcfiniinenl croissantes, positives ou négatives, les quantités qu'il faut porter au-dessus et au-dessous du diamètre croissent sans limite; donc leur différence tend vers zéro, puisqu'elle est égale à la différence constante de leurs carrés, divisée par leur somme indéfiniment croissante.

D'après cela, il est clair que les jioints des quatre branches de la courbe s'approcheront indéfiniment des quatre prolongements indéfinis de ces droites, à mesure que les valeurs absolues des abscisses croîtront de plus en plus des deux côtés de l'origine.

Toute droite qui jouit de la propriété que la distance des points d'une branche de courbe infinie à cette droite a pour limite zéro, à mesure que l'on s'avance indéfiniment sur celte branche, se nomme asymptote de cette branche. L'hyperbole a donc deux asvmptotes, et chacune d'elles l'est dans les deux sens. Elles se coupent au centre de la courbe.

108. Troisicme cas. — Soit enfin h- — ^(/c = o. La discussion sera fort différente dans ce cas, parce que le polynôme sous le radical n'est plus du second degré.

La valeur de v' se réduit à

bz ^- d

ih — \J-i:{ bd — iae)x -r- d^ — 4a/,

— {/ '2ibd — -iae)\ x -^. ^— — l3l—

■jlCi Y L ■i.{bd — lae)]

Pouriiuc ) soit réel, il l'aut (uie/yc/ — ■•2.aeeix-\ — , , ** . 1 • ' ï{bd—n.ae)

soient de même signe, de sorte qu'à partir de la valeur

X =■ — ^, 1 oui annule le second fadeur et donne le

■i.(bd — -j^ae j *

cnAriTRU VI. 2l5

point unique d'intersection do la courhe avec le dianièlrc, il faut que x marche indéfiniment du côlé des ^' |io>ilil's si l'on a bd — ■ 2ae ^o ; et du côté des ./• néiiatifs si ïou a bd — 2ae<o. Le radical croîtra alors indélininient, et la courbe se composera de deux branches infinies, non séparées, et s'étendant indéfiniment du côté de Taxe des .r positifs, ou bien de l'fxe des x négatifs.

Cette courbe, d'une forme Irès-difiércntc des douv autres, se nomme parabole.

Si, outre b- — 4 '^c = o, on avait encore bd — lae = o, le radical aurait une valeur constante. Si l'on ad- — ^4^(/>o, cette valeur est réelle, et le lieu consiste en deux droites parallèles au diamètre. Si d- — ^af=o, ces deux droites se confondent avec le diamètre même. Et, enfin, si l'on a d- — 4^(/<!0) la valeur de v est imaginaire quelque soitx, et l'équation ne représente aucun lieu.