CHAPITRE VI

raie du second degré

( I ) ay^ -^ bxy -^ ex- -r- dy -î- ex -^ f = o.

Et d'abord remarquons (jue, quel que soit le Heu de celle équation, si on le rapportait à des axes choisis arbitrairement sur le plan, son équation serait du même degré ; et par conséquent Téquation (i), qui est aussi générale que possible, peut être supposée celle du même lieu par rapport à tout système d'axes; de sorte que toute proposition qui se trouvera établie relativement à l'un ou à l'autre de ces axes le sera relativement à une droite arbitraire.

Cette remarque, qui s'applique à tous les degrés, nous permettra de démontrer très simplement des propriétés très générales des courbes du second degré.

lo9. Intersection par une droite quelconque. — Si Ion cherche l'intersection du lieu de l'équation (i) par l'axe des a:, ce qui se fera en y faisant j' = o, on aura pour déterminer la position de ces points l'équation (2) CX-— ex -^f= o.

Or, en général, cette équation n'admet |)as plus de deux racines; et l'axe des x représentant une droite quelconque du plan, on obtient cette proposition générale : Une droite quelconque ne peut en général avoir plus de deux points communs a\>ec une courbe du second degré. Pour que ces deux points existent, il faut que les racines de réqua(ion(i) soient réelles et iné<;ales.

Si elles étaient égales, les deux j)oints seraient réunis en un seul. Il n'y en aui-ait aucun, si elles étaient imaginaires. Si l'on avait c = o, il n'y aurait qu'un point de rencontre. Mais cette circonstance est différente de celle des racines égales. En effet, si l'on conçoit que les coefficients de (2) varient dune manière continue en tendant vers la condition d'égalité des racines, les deux points de rencontre se rap-

QOb ÉTLDE DES COLIRBES.

prooheront indéflniment et se confondront quand on aura e- = l^cf. Dans le second cas, c tendant vers zéro, l'une des racines croît sans limite, les deux points s'éloignent indéfiniment l'un de l'autre, et, quand on a c = o, il n'en subsiste plus qu'un.

Enfin, si l'on avait c = o, e = o,y" = o, l'équation (i) serait satisfaite quel que tût x^ et par conséquent tous les points de l'axe des x conviendraient. Dans ce cas particulier cet axe appartient au lieu. L'équation (i) devient alors ")•(«}' -H ij^-t-<j?) = o et représente l'ensemble de deux droites dont l'une a pour équation )• = o et l'autre av -\-hx -\- d=^Q. C'est le seul cas où une droite puisse avoir plus de deux points communs avec un lieu du second degré.

160. Diamètres. — Occupons-nous maintenant de construire tous les points du lieu. Il faudra pour cela, comme nous l'avons dit généralement, donner à x d'une manière continue toutes les valeurs réelles de o à ± co et déterminer la suite des valeurs réelles correspondantes de y. A cet effet, ' nous résoudrons l'équation (i) par rapport à j', et nous aurons

bx—d . I

^ ' •'' ~ -ici ~ an * ' *- — 4 ac)J-- — i ( bd — a ae }.r-^d- — 4 af.

Cette expression montre d'abord que, pour toute valeur de X qui rend le radical réel, il y a deux valeurs de y réelles, et par suite deux points du lieu situés sur une parallèle à l'axe des v, et également distants du point du plan dont

1, 1 . • hx^d y . 1 . ...

1 ordonnée serait — La suite des pomls milieux

■la 1

des cordes parallèles à l'axe des y et relatives aux valeurs

successives de x est donc représentée par l'équation

hx -^ d

qui est celle d'une ligne droite UV {Jig- 38, p. 208). Et

(HM'ITRE Vr. 205^

comme l'axe des y a une direction quelconque par rapport au lieu, on oblieut celte proposition générale :

Dans toute courbe du second degré, le lieu des milieux d' un système quelconque de cordes parallèles est une ligne droite. Cette droite se nomme le diamètre de ces cordes.

La suite de la discussion va beaucoup dépendre du signe du coefficient de x- sous le radical, et nous la partagerons en trois cas bien distincts, correspondant aux trois hypothèses

feî — 4'*C"C<>. b- — ^ac'^'O, b- — ^ac =^ o.

161. Premier cas. — Soit b- — !\ac<^o. En le mettant en facteur sous le radical, nous aurons

■' art ■îrtV V b' — \ac b-—!\acl

et posant 6- — l^ac = — /.-.

bx-^d ^^ k / „ 2rte — bd

^ ~ la xay b- — ^ac

Posant ', ■ = m. la quantité sous le radical devient

. d'-ja/

b- — \ac

et comme — {x — ni)- est toujours négatif, il faut que l'ensemble des termes suivants soit positif, ou le radical ne serait jamais réel, et l'équation proposée ne représenterait

aucun lieu. Supposant donc — m- .^ , positif, en le

représentant par //-, l'équation (i) résolue sera

bx~ d __ k

■''- ï^~ ^^ îrtVV — <^-'«)--

La forme de la quantité sous le radical dispense de con-

208 ÉTCnE DES COURBES.

sidérer toutes les valeurs de j; de — oo à 4- oo . Car, pour que y soit réel, il faut que l'on ait (x — my <^p- ou au plus l'égalité (x — m)- = p-, qui donne œ ^ m ±p. Ces deux valeurs AB, AB' de x, rendant le radical nul, donnent deux points sur le diamètre même. Soient D, D' ces deux points, Cle milieu entre BetB' ; on aura peir suite AC = m, BG ^= CB' = /> et DO = D'O. Maintenant, pour avoir [x — m)- <^p-, il faudra que x — m on m — x soit plus

petit que p, et par suite que x soit compris entre m -\- p et m — p, et par conséquent le lieu est compris entre les parallèles indéfinies BD, B'D'.

La plus grande valeur du radical aura lieu quand x — m sera zéro, ou :r = m. Si donc à partir de O on porte en

dessus et en dessous —, on aura deux points H, H' appartenant au lieu, et qui seront les plus éloignés du diamètre DD'. D'où il suit que, si par ces points on mène des parallèles EF, E'F' à ce diamètre, le lieu sera tout entier compris entre ces parallèles; et comme il l'est déjà entre EE' et FF', il sera renfermé dans l'intérieur du parallélogramme EFF'E', et passera par les milieux de ses quatre côtés. De plus, toute valeur de x entre m — p et m -+- p donnant des valeurs réelles pour y, le lieu sera une courbe continue et fermée. On lui a donné le nom ^''ellipse.