I -(- flo- -f- ^^ao -t- ca- -4- rfê -!- ea -hy'= o

Les trois termes du seconddegréonllesnièmescoeriicicnts

cnAi'irnr. vu. 21 j

que dans (il, mais les trois autres renfcruicnl a el ê; ou peut donc, en général, en faire disparaître deux à volonté, et nous choisirons ceux qui renferment x' ou j'. Il suffira pour cela de poser

\ u«ê— />a— (/ = 0, il bê-r- ïcn. -j- e = 0,

d'où

l'on tire

•xae — bd

1 p a cd — be

' b- — i ac

On voit d'abord que cela n'est possible que si l'on n'a pasft- — 4«c = o. Les termes du premier degré ne peuvent donc disparaître que dans le cas de l'ellipse et de l'hvperbole; et alors l'équation (2) se réduit à '

{ay--r- bx'r' -+- c)x'--T- P = o,

I* étant le résultat de la substitution des valeurs (4) dans le premier membre de (1).

On peut reconnaître dans les l'ormules (4) les valeurs des coordonnées du centre, mais la forme de V équation ( 5 ) suffit pour prouver que l'origi/ie (tes coordonnées x' , j-' est centre de la courbe, c'est-à-dire que toute corde qui v passe y est coupée en deux parties égales.

Soit, en effel, y =mx' l'équation d'une droil(; fpiolconque passant par l'origine; les abscisses des points où elle coupe la courbe seront données par l'équation

( ain- — bm -1- c)x'- -i- I' = o,

dans laquelle x' n'entre qu'au carré, puisipie tous les termes en a:',!'' dans (5) étaient du second degré. Les deux valeurs de x' sont donc égales et de signe contraire, quand «lies sont réelles, et les deux |)oints de rencontre sont à

2l8 ÉTIDE DES COIUBES,

égale distance de lorigine qui, par conséquent, est centre de la courbe.

171. jReciproqiiPiJient. — Pour qu'un point du plan soit centre, il faut qu'en le prenant pour origine l'équation ne renferme plus de termes du premier degré, car sans cela l'équation qui donnerait les abscisses des points de rencontre de la courbe avec une droite quelconque menée par ce point renfermerait x'- et x' : l'origine ne serait donc pas le milieu de la corde, et par conséquent ne serait pas centre ; il n'y a donc qu'un seul centre pour l'ellipse et l'hyperhole, puisqu'il n'y a qu'une seule solution pour les équations (4) lorsqu'on n'a pas b- — ^ac^=o.

172. Lorsque l'on a />- — ^ac^ o, les équations (3) sont incompatibles, à moins que l'on n'ait 7.ac — ■ bd ^= o, et par suite 2 cd — bc = o, auquel cas elles sont indéterminées. Mais nous avons reconnu que l'équation repi'ésentail alors deux droites parallèles au diamètre, et non plus une parabole. Donc, lorsque b- — 4 «^'c = o, il n'y a pas de centre ou il Y en a une infinité. Il n'y en a pas quand le lieu est une parabole; et il y en a une infinité quand le lieu consiste en deux droites parallèles.

173. La résolution des équ.itions (3) correspond à l'intersection des deux lieux géométriques repi-ésentés par chacune de ces équations, considérée isolément, en y regardant a et ê comme des coordonnées variables. Ces équations, étant du premier degré, représentent des lignes droites. Si l'on remplace acte par les lettres ordinaires x, r, la première droite aura pour équation

bj: -T- d

'>. nv -r- hx ^ d ^ o "Il V ^ :

■ 2 rt

c'est le diamètre des cordes parallèles à l'axe des/.

CIIAVITUE Vit. 21^

La seconde, hv -i- icx -j-e = o, donne

ce serait le diamètre des cordes parallèles à Taxe des .r, et le centre serait à la rencontre de ces deux dianièlres.

• Ils seraient nardloics si Ion avait — = -7-011/;- = àac, 1 nu b

et c'est le cas de la parabole. II n'y a pas rencontre des deux droites (3) à moins que Ton n'ait lae — bd^= o, auquel cas les deux équations (3) se confondent en une seule. Les deux diamètres se réduisent alors à un seul, dont tous les points satisfont, et sont par conséquent des centres du lieu, comme cela est évident, puisque le lieu consiste alors en deux droites parallèles.

174. Le changement d'origine, introduisant deux indéterminées, permet toujours de faire disparaître deux termes de l'équation complète; et, lorsqu'on ne peut laiic liisparaître les deux du premier degré, on peut faire disparaître l'un d'eux et le terme indépendant des variables. Si c'est l'ordonnée qu'on veut faire disparaître, on aura pour déterminer les coordonnées de la nouvelle origine les deux équations

1 xao — h % — d = o, (6) „ „ ' „

j arj--r- bio — ca^ -H f/o-i- <;a-^/= o.

Eliminant ê, on obtient

(h- — ^ac)7.- -^ 2 ( hd — a «e ) a -T- d- — ^(tf = o.

Dans le cas où i- — 4 «c est diflerent de zéro, cette équation a deux racines, réelles ou imaginaires. Si 6- — /{ ac = o, elle se réduit au premier degré, et il y a toujours une solution rée'le, mais unique.

On peut remarquer que les solutions communes aux deux

220 ÉTUnE DF,S COURÎÎF.S.

équations (6) sont les coordonnées des points communs au diamètre des cordes parallèles à l'axe des y et à la courbe donnée. Dans le cas de l'hvperbole seulement, ce diamètre peut ne pas couper la courbe, et les racines de l'équation en a seraient imaginaires. Il ne serait pas possible alors de faire disparaître le terme en >' et le terme indépendant, par un simple déplacement de l'origine, sans changer la direction des axes. Il pourrait en être de même pour la disparition du terme en x; et même il pourrait arriver qu'aucun des deux ne pût disparaître conjointement avec le terme indépendant, en conservant aux axes la même direction.

Dans le cas de la parabole, a est réel et fini, puisque l'hypothèse bel — 2rte = o, qui le rendrait infini, n'a lieu que lorsque l'équation représente deux droites parallèles, elnon la courbe que nous avons nommée parabole. On peut donc toujours faire disparaître de l'équation de la parabole un des termes du premier degré et le terme indépendant.