DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

157. Lorsqu'une équation dont les dénominateurs ne renferment pas l'inconnue est composée de termes où entrent en facteurs, dans les uns le carré, dans les autres la première puissance de cette inconnue, et de termes tout connus, on dit que cette équation est du second degré.

Dans le cas simple où les termes du premier degré manqueraient, on commencerait par tirer la valeur du carré de l'inconnue, comme on ferait pour une équation du premier degré. Connaissant ce carré, il n'y aurait plus qu'à extraire la racine d'un nombre connu, ce qui rentre dans les opérations dont nous avons parlé précédemment.

Il est naturel de chercher à ramener à ce cas celui où l'équation est complète ; et nous commencerons par expliquer le procédé sur une équation particulière. Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduit, pour la détermination de l'inconnue x, à l'éauation

Il est clair qu'on ne pourrait tirer de là le carré de x égal à un nombre donné ; mais il n'est pas difficile d'apercevoir qu'on en peut tirer le carré d'un binôme dont le premier terme sera a:, et le second un nombre connu. Or, cela étant fait, la racine du nombre égal à ce carré sera le binôme même, d'où se déduira x.

Pour y parvenir, il suffit de se rappeler que le carré

d'un binôme, dont l'un des termes est zh x et le second terme un nombre connu, a l'un de ses termes égal à x^, et un autre égal au produit du premier terme du binôme par le double du second. D'où il suit que, si l'on place x^ et x dans le membre où x^ n'aura pas le signe — , on connaîtra immédiatement le binôme dont le carré aura ses deux premiers termes identiques à ceux de l'équation. D'après celte remarque, nous mettrons l'équation proposée sous la forme

(2) X- — Sx -4- 2 = G.

Or, — 3x devant être le double produit du premier terme du binôme par le second, en suivant la règle connue des signes, il faut que ces deux termes soient de signes contraires et le second égal en valeur à la moitié de 3 ; le binôme est donc

et son carre

Si donc on ajoute et qu'on retranche j au premier membre

de l'équation (2), elle pourra s'écrire de l'une des deux manières suivantes :

ou, en faisant passer les termes connus dans le second membre et réduisant,