CHAPITRE XXII

OU, en élevant les deux membres à la puissance n,

XH-//>(;'x-i-gr,

inégalité impossible, puisqu'elle doit avoir lieu quelque petit que soit h, et que le premier membre s'approche autant qu'on voudra de X, tandis que le second, qui devrait être plus petit, est un nombre constant plus grand que X.

Donc k peut devenir moindre que tout nombre désigné, et, par conséquent, VX est une fonction continue de x.

X désignant une fonction continue quelconque de x peut être un polynôme

a.T. -;- bj:'"~^ -;-... -'- t.T -\- u,

ou même ce polynôme élevé à une puissance entière quelconque p; et l'on peut dire par conséquent, d'après ce qui vient d'être démontré, que

[ax""- -•- bx'"-^ -r- . . . "]- ta: ^- u)r est une fonction continue de a:.

181. Quatrième exemple. — Faisons maintenant l'application du même procédé à la fonction qui exprime le quotient de deux fonctions continues de x, que nous désignerons par X, Y.

La définition de la continuité exigeant que pour chaque valeur de la variable la fonction ait une valeur réelle dé-

terminée, si nous considérons l'expression --; ? il ne faudra

prendre x que dans un intervalle où aucune de ses valeurs ne rendra nul le dénominateur Y; car alors l'opération in-

diquée par — n'aurait aucun sens par elle-même. On dit

cependant quelquefois que la valeur de x qui rend Y nul

donne une valeur infinie pour;-? voulant exprimer par là

que cette fraction croît sans limite à mesure que jc s'approche de cette valeur particulière ; mais il vaut mieux employer ce langage, qui fait connaître la chose telle qu'elle est, plutôt qu'un autre plus rapide, qui fait croire qu'il y a une valeur pour le quotient d'un nombre par zéro, en ajoutant, ce qui est aussi inintelligible, que ce quotient est infini. INous admettrons donc que l'on considère seulement la variable X entre deux limites telles, qu'aucune valeur comprise entre elles ne rend Y nul.

Cela posé, si à partir d'une quelconque de ces valeurs on augmente x d'une quantité qui pourra être aussi petite que l'on voudra, X et Y varieront de quantités /«, A" qui, d'après l'hypothèse, pourront elles-mêmes devenir moin-

dres que toute quantité donnée. La fraction qui était —

deviendra

et, si l'on en retranche --.^ on aura pour l'expression de son

accroissement