Deuxième exemple. — Considérons maintenant

an polynôme de degré quelconque en a:,

ax"^ -r b.r"^~^ -h . . . ~- sx^ -h ;.r -f- «.

Il vient d'être démontré qu'on peut donner à x un accroissement assez petit pour que chacun de ses termes croisse d'une quantité moindre que toute quantité donnée ; il en sera donc de même de l'accroissement total de la somme des m termes variables ; et, par conséquent, tout polynôme dont les termes ne renferment que des puissances entières et positives de x est une fonction continue de cette variable.

Remarque. — Nous avons désigné par :r une quantité qui variait d'une manière continue; mais elle peut être elle-même une fonction d'une autre variable ; nous n'avons pas supposé autre chose que la continuité de la variable x, sans nous occuper de savoir si elle était dépendante ou indépendante.

180. Troisième exemple. — Démontrons maintenant la continuité de la racine de degré quelconque n d'une fonction continue de x, désignée par X.

Soit h l'accroissement que prend X lorsqu'on donne à x un accroissement arbitraire ; d'après l'hypothèse, A pourra être supposé aussi petit qu'on voudra.

Soit k l'accroissement correspondant de yX; on aura

et il s'agit de démontrer que l'on pourra prendre U assez petit pour que A: soit moindre que toute grandeur désignée. Or, pour que cela ne fût pas, il faudrait admettre que, quelque petit que fût A, k serait toujours supérieur à une certaine quantité fixe e : et alors on aurait toujours