CHAPITRE XXII

peut devenir moindre que toute quantité donnée. Et si A est négatif, et qu'on désigne par e un nombre fixe, aussi petit qu'on voudra, k finira par être inférieur à e en valeur absolue, de sorte que Y H- A" sera supérieur à Y — e. Or, le dénominateur étant plus grand que le nombre fixe Y(Y — s), la fraction en question est au-dessous d'une fraction qui a un dénominateur fini constant, et un numérateur qui peut devenir moindre que toute quantité donnée : il en est donc de même de la fraction qui est la dilTé-

rence de — à la valeur qu'elle prend quand x prend un ac-

croissement suffisamment petit. Donc enfin — est une fonction continue de x, entre deux limites quelconques qui ne renferment aucune valeur de x qui rende Y nul.

182. Cinquième exemple. — Considérons, pour terminer, la fonction exponentielle a*, dans laquelle a est une constante quelconque, et x une variable continue.

Si, à partir d'une valeur quelconque, x augmente d'une quantité h, l'exponentielle augmentera de a'''^^ — a"^ ou a^[a^ — I ), et, pour que la continuité de a"" soit démontrée, il faut prouver qu'on peut donner à h une valeur assez petite pour que a^ — i soit inférieure à toute quantité désignée; car il en résultera que l'accroissement a' [a^ — i) pourra lui-même devenir moindre que toute quantité donnée.

Or, si aJ' — I ne peut pas devenir au-dessous de tout nombre donné, il sera toujours supérieur à une certaine valeur fixe, que nous désignerons par s, et par conséquent on aura, quelque petit que soit /a,

La quantité /i, qui peut diminuer indéfiniment, peut être

2o4 SCIENCE DES NOMBRES,

représentée par —7 m cro précédente s'écrira ainsi

représentée par —7 m croissant indéfiniment; et l'inégalité

et devra avoir lieu quelque grand que soit m.

En élevant les deux membres à la puissance m, on devrait avoir

quelque grand que fût m.

Mais on sait au contraire qu'un nombre fixe plus grand que I, étant élevé à des puissances de degré indéfînimenl croissant, le résultat peut devenir supérieur à tout nombre donné; donc ( i -i- s)'" ne peut rester inférieur ka, quelque grand que soit m. Donc enfin la différence a^ — i peut devenir moindre que toute grandeur donnée, en prenant pour h une valeur suffisamment petite, et, par conséquent, la fonction a"" est continue.

Remarque. — On fait souvent application de la proposition que nous venons d'établir dans le courant de cette démonstration, que, quand h tend vers la limite zéro, l'exponentielle a^ tend vers la limite i.

183. Nous avons admis qu'un nombre constant, supérieur à l'unité d'une quantité fixe e, aussi petite qu'on voudra la supposer, étant multiplié par lui-même un assez grand nombre de fois, peut donner un produit supérieur à tout nombre donné, quelque grand qu'il soit. On peut donner de cette proposition une démonstration si simple, que nous ne croyons pas devoir l'omettre ici.

Il est d'abord évident que ces produits vont toujours en augmentant, puisqu'on passe de l'un quelconque au suivant en le multipliant par un nombre plus grand que l'unité. Et