CHAPITRE XXIII

manière continue depuis une valeur quelconque a jusqu'à une autre quelconque ê, a^' passera par toutes les valeurs comprises entre a* et a^-, de sorte que, si l'on suppose a>i, et qu'on fasse varier x d'une manière continue depuis zéro jusqu'à des valeurs aussi grandes qu'on voudra, a^ partira de l'unité et passera par tous les nombres entiers, fractionnaires ou incommensurables, depuis l'unité jusqu'à une limite aussi éloignée qu'on voudra.

Et si l'on donnait à x des valeurs négatives, depuis zéro jusqu'à une limite aussi grande qu'on voudra en valeur absolue, en entendant les exposants négatifs comme nous l'avons expliqué précédemment, a^ variera d'une manière continue depuis l'unité jusqu'à une valeur aussi voisine qu'on voudra de zéro.

D'où il suit que a^ peut représenter tous les nombres depuis la plus petite limite jusqu'à la plus grande qu'on voudra fixer, en donnant à x d'une manière continue toutes les valeurs entre deux limites suffisamment étendues, l'une positive, l'autre négative.

Si l'on avait supposé <2<C^ i, on arriverait à cette même conclusion ; mais les nombres plus petits que l'unité correspondraient aux valeurs positives de x, et les nombres plus grands aux valeurs négatives.

190. Pour la réalisation de cette conception, dont on sent toute l'utilité, on remarquera d'abord que, toutes les opérations se ramenant aux nombres entiers, il suffit de déterminer les exposants qui correspondent à ces derniers, quand on aura choisi la valeur particulière de leur base commune a.

Quant à ce choix, on a bientôt remarquée qu'ayant souvent besoin de multiplier ou diviser par des puissances de la base du système de numération, il serait utile que l'exposant correspondant à cette base fût le plus simple possible.

C'est pour cela que l'on a choisi pour a la valeur même de la base du système de numération.

On a ainsi formé une table à deux colonnes : la première renfermant tous les nombres entiers, depuis l'unité jusqu'à une certaine limite ; et la seconde les exposants des puissances de 10 équivalentes aux nombres entiers correspondants. On a donné à ces exposants le nom de logarithmes : leurs valeurs ne peuvent être trouvées que par approximation, quand elles ne sont pas entières. Nous parlerons plus tard des procédés employés pour les calculer ; nous nous bornons ici à constater leur existence.

Cette table étant supposée formée, son usage se conçoit facilement. Si, par exemple, on veut trouver le quotient de la division de deux nombres considérables, on trouvera dans la colonne des logarithmes ceux qui correspondent aux deux nombres, on retranchera celui du diviseur de celui du dividende, et l'on connaîtra le logarithme du quotient. Si ce dernier se trouve dans la colonne des logarithmes, on lira dans celle des nombres le quotient cherché.

Mais on a souvent à chercher le nombre correspondant à un logarithme qui n'est pas dans la table, ou le logarithme d'un nombre qui n'y est pas compris. Les procédés qu'on emploie à cet effet sont les mêmes pour les tables de toute espèce ; ils n'offrent aucune difficulté théorique, et nous renvoyons ces détails aux Traités spéciaux.

191. La première conception des logarithmes était fondée sur une autre considération que celle des expressions exponentielles, mais qui y rentre au fond. En désignant par j un nombre quelconque, par x son logarithme et par a la base j» nous avions entre x et y la relation

et Ton voit que, si l'on donne à] a: des valeurs en progression