ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

205. L'équation la plus générale du troisième degré peut se mettre sous la forme

;r3-;- A.r«-t-B^4-Crr=o.

Avant de résoudre cette équation générale, considéronsen le cas le plus simple, celui où elle ne renfermerait d'inconnu que le seul terme x^.

Si l'on extrait la racine cubique de la valeur absolue du terme tout connu, et qu'on la désigne par a, l'équation pourra avoir, suivant le signe du terme connu, les

D. — Se. de rais., 2« Part. l5

deux formes exprimées de la manière suivante : Considérons d'abord

Le premier membre, étant le produit des deux facteurs

x — a et x'^ -+■ ax -f- a^, peut être égalé à zéro, soit en posant

X — rt = o,

soit en posant

x"^ ^ ax -\- a? -j^ o ,

La première équation donne la seconde donne

Le nombre quelconque o? a donc trois racines cubiques, l'une réelle, et qu'on sait trouver par les procédés indiqués précédemment, les deux autres imaginaires. Ces trois racines sont le produit de a par les trois expressions qu'on trouverait en faisant «^=1:1:1, c'est-à-dire par les trois racines cubiques de i qui sont

I et --±:-^i:~3.

Ces deux expressions imaginaires, traitées suivant les règles indiquées dans le Chapitre XX, donneront l'une et l'autre i pour cube.