CHAPITRE XXVI

Quant à l'équation

son premier membre, n'étant autre chose que le produit

ne peut être rendu nul qu'en posant

X ^- a = o ou .r- — ax -\- a^ -^ o;

d'où l'on tire

x=z — a ou ar=:--v/ — o; 2 2

ces trois valeurs sont les produits de a par les trois valeurs que l'on aurait trouvées en prenant a^=i-^ ce sont donc les racines de l'équation

ou les racines cubiques de — i .

Ce qui montre que tout nombre négatif — a^ a trois racines cubiques, qui sont les produits de ce qu'on appelle la racine arithmétique de ce nombre par les racines cubiques de — I , qui sont

1 , I / — - — I et -izz-V—S.

206. Nous venons de trouver les racines cubiques des nombres réels, positifs ou négatifs; mais il nous sera encore nécessaire tout à l'heure de connaître toutes les racines cubiques d'une expression imaginaire de la forme a-i- b \J — I , et nous allons maintenant traiter cette question, c'est-à-dire résoudre complètement l'équation

pour laquelle nous avons déjà démontré l'existence d'une racine de la forme a 4- o yj — i (Ghap. XX).

Le polynôme x^ — {a -h b \j — i) sera donc divisible par X — {a -^- ^ sj — ■ i), et le quotient renfermera a -f- S sj — i , comme le quotient de x^ — a^ par a? — a renferme a, c'està-dire qu'il sera

Et, d'après tout ce qui a été dit, si on l'égale à zéro, on trouvera deux valeurs pour x qui seront imaginaires, de la forme p -\- q \l — i ; le polynôme x^ — {a-\~h \j — ij sera alors décomposable en trois facteurs , et ne pourra être égalé à zéro que par les trois expressions qui annulent respectivement ces facteurs.

En effet, en égalant à zéro le facteur («), on trouve les deux valeurs suivantes de x :

réductible à la forme p -^~ q \l — i •

L'expression a-\-b\J — i a donc trois racines imaginaires de la même forme, et elle ne peut en avoir davantage.

En prenant pour a-4-ê y^ - -i l'une quelconque des trois, on peut dire que a-^-b sJ — i a trois racines cubiques qui sont le produit d'une quelconque d'entre elles par les trois racines cubiques de l'unité.

207. Revenons maintenant à l'équation générale ar^ -\- A.x^ -\~ Bo: H- C -- O.

Par une transformation très-simple que nous avons fait