CHAPITRE XXVI

tion du second terme, et l'avoir ainsi réduite à la forme

( I ) X* ^r p X^ -r q X -\- T rzn Q,

il s'est proposé de décomposer le premier membre en deux facteurs du second degré, et de ramener par là la résolution de l'équation proposée à celle de deux équations du second degré.

Pour cela, il regarde le polynôme (i) comme le produit de deux facteurs de la forme

f, g, h étant des coefficients indéterminés, et les seconds termes de ces deux facteurs ayant été pris de signes contraires, pour que le terme en x^ de leur produit fût nul. Ce produit

étant identifié au polynôme (i), il en résulte les trois équations

gh — r.

La première et la troisième donnent l'expression de la somme et du produit de g et h en J ; elles sont donc les racines de l'équation

qui ont pour valeurs

r'-^P^-S/îf'-^p)*-ir

Ce sont là les deux valeurs de g et h. Les reportant dans la seconde équation, on obtient

(3) fsl[P+pf-^'-=..q,

OU, en élevant au carré et ordonnant par rapport à y,

(4) p -;- ^pf + {j,'- - 4r )P - î^ r= o.

Cette équation est du troisième degré, si l'on prend pour inconnue jf 2, et comme son dernier terme est négatif, elle a une racine réelle positive : d'où résultent pour y' deux valeurs réelles et de signes contraires. Prenant l'une quelconque des deux, ce qui n'influe pas sur les valeurs trouvées de g et h, et observant que l'équation (3) donne pour le

radical qui entre dans leur expression une valeur réelle ^>

il s'ensuit que les trois quantités y*, gy h seront réelles et que le premier membre de l'équation (i) sera décomposé en deux facteurs réels du second degré. On ne pourra donc satisfaire à cette équation qu'en égalant l'un ou l'autre à zéro, ce qui donnera quatre valeurs pour x, que l'on tirera des deux équations suivantes :

.r^ '\-f.T, -^- g rr- o,

X^ — fjC -!- h z-s:z O.

210. Remarque. — On voit que cette analyse a consisté à décomposer un polynôme du quatrième degré en deux facteurs du premier, et ramener ainsi la résolution de l'équation générale du quatrième degré à celle du second. Mais, pour opérer cette décomposition qui ne se fait pas d'elle-même, mais qu'on se propose comme un nouveau problème auquel on cherche à ramener le premier, on est conduit à résoudre une équation du troisième degré, c'està-dire à une question dont on connaît la solution.