CHAPITRE

les deux valeurs de j"^^ z^ ou de A, B sont réelles et égales. Les formules (8) se réduisent alors à

sont donc réelles, et

Les trois racines de l'équation ( deux d'entre elles sont égales.

3° Enfin, soit

L'expression (7) peut se mettre sous la forme in±n\l — i. Représentant une des racines cubiques de w-f- n\j — i par h-r-k^ — I, une des racines cubiques de m — /ly — 1 sera

Les trois valeurs de y seront donc et celles de z seront

Maintenant, pour former les racines de (i), il faut ajouter chacune des valeurs de j-, respectivement avec une valeur de z telle, que yz soit réel, comme l'exige l'équation (3). Et il est facile de voir qu'il n'y a encore que les combinaisons qui ont donné les formules (8), parce que dans le cas actuel le produit de h-{-k^ — i par h — k^ — i,

étant h--^-k^y est réel comme l'était le produit y A yB dans l'autre.

Les trois valeurs de x sont donc, dans ce troisième cas,

X r^ a [h H- /- sj'^) + g ( A — /• V^"^) =: - A — /- y/3,

x=zz^{h-^ h sj~^) 4- a (/^ — /- v''-^j " — // -|- /• y/S .

Elles sont donc encore toutes les trois réelles et inégales. Mais il ne faut pas oublier que, pour obtenir la valeur de /?, il faudra chercher la racine réelle d'une équation du troisième degré.

208. Remarque. — Il est bon de remarquer que c'est la méthode analytique que nous avons employée pour résoudre l'équation

X^ A~ px ^ qzi:=.0.

En effet, nous avons commencé par un changement d'inconnues, et nous avons déjà dit que toute transformation était de l'analyse, puisqu'elle ramène une question à une autre. Seulement, pour que ce soit une analyse utile, il faut que la seconde question soit plus facile à traiter que la première ; et c'est pour cela qu'on laisse toujours quelque chose d'indéterminé dans la relation entre les inconnues ou les variables, afin de pouvoir en profiter pour opérer quelque simplification.