CHAPITRE II

entiers qu'eux-mêmes et l'unité ; on les appelle nombres premiers.

Deux nombres qui ont ou n'ont pas de diviseurs entiers, mais qui n'en ont aucun de commun, si ce n'est l'unité, sont dits premiers entre eux.

35. Du plus grand commun diwiseur de deux nombres entiers. — On appelle ainsi le plus grand nombre contenu exactement dans chacun de ces deux nombt-es. La règle à laquelle on est conduit pour l'obtenir se trouve dans Euclide ; elle se fonde sur cette proposition évidente :

Si l'on considère un tout décomposé en deux parties, toute quantité contenue exactement dans deux de ces trois quantités l'est exactement dans la troisième.

D'après cela, si l'on considère que dans toute division le dividende se compose du produit du diviseur par le quotient et du reste, on obtient les deux propositions suivantes :

Tout nombre contenu exactement dans le dividende et le diviseur l'est aussi dans le reste ^

Tout nombre contenu exactement dans le diviseur et le reste l'est dans le dividende.

D'où il suit que tous les diviseurs communs au dividende et au diviseur, et tou.s ceux qui sont communs au diviseur et au reste, sont identiquement les mêmes ; et, par conséquent, le plus grand d'un côté est le même que le plus grand de l'autre.

De là résulte la règle pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.

En effet, si le plus petit divise exactement le plus grand, il sera le plus grand commun diviseur. S'il y a un reste, le plus grand commun diviseur de ce reste et du diviseur sera celui des deux proposés ; on divisera donc de même le diviseur par le reste, puis ce reste par celui de la nouvelle di-

vision, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul : le diviseur de la dernière opération est le nombre cherché.

Gomme les restes sont entiers et vont toujours en diminuant, on en trouvera toujours un nul; mais, si le diviseur est alors l'unité, les deux nombres sont premiers entre eux.

Remarque. — On reconnaît facilement que, si l'on multipliait les deux nombres proposés par un même nombre, tous les restes, et par conséquent aussi le plus grand commun diviseur, le seront eux-mêmes.

36. Les propriétés des nombres premiers absolus ou premiers entre eux sont très-importantes, mais nous nous écarterions de notre objet si nous en faisions l'objet d'une étude spéciale. Nous les admettrons comme connues quand nous aurons besoin d'en faire usage.