QUELQUES EXPRESSIONS SINGULIERES QUI SE RAMENENT A LA PRÉCÉDENTE

254. La limite de (i -}- a)* qui se présenterait sous la forme insignifiante de i", si l'on mettait au lieu de la variable a sa limite zéro, conduit facilement à la connaissance des limites de quelques autres fonctions qui prendraient d'autres formes singulières, si l'on substituait aux variables dont elles dépendent les limites vers lesquelles elles tendent.

Soit proposé, par exemple, de trouver la limite de la

fonction — > lorsque a tend vers zéro. Si l'on mettait

dans cette fonction, au lieu de a, sa limite, on trouverait

la forme singulière -i qui n'apprendrait rien; de sorte qu'il

faut prendre une autre voie pour obtenir la limite cherchée.

Pour cela nous transformerons cette fonction de a. par un changement de variable, et nous poserons

«"—1 = 5 ou a* = I + g,

g elle deviendra ainsi -5 et ê tendra vers zéro; mais il fau-

a D. — Se. de rais. y 2* Part. IQ

dra tenir compte de la relation entre a et ê, sans quoi l'expression - ne serait pas déterminée. Cette relation donne

d'où

L'expression proposée en oc se transforme donc dans la suivante en ê :

uloga

= log(i

log«

log(n-6)

log

et la limite de cette expression est évidemment 7-^—^ ou la

log e

en prenant les logarithmes dans la base de Neper.

Et il sera bon de se rappeler que, si e désigne une variable

quelconque tendant vers zéro, le logarithme népérien de

(i H~ s)' tendra vers l'unité; et, comme ce logarithme est — ^5 on pourra toujours, dans les recherches des limites,

supprimer les facteurs de la forme ~ ^ parce qu'ils

ne donneraient que des facteurs égaux à l'unité dans la limite.