CHAPITRE
Tel est le développement du logarithme de (i -hx) dans la base e. Mais il ne faut pas oublier que la formule d'où il a été tiré n'étant exacte que quand x est compris entre H- 1 et — I, il sera assujetti lui-même à cette condition.
263. La formule (6) ne serait pas propre au calcul des logarithmes de tous les nombres, puisqu'elle exige que i-hx soit compris entre o et 2. Mais Euler en a déduit une autre au moyen de laquelle ces calculs sont possibles.
Changeant d'abord x en — x dans (6) et retranchant les
deux équations, on obtient
OU
série très-convergente si x est très-petit. Si maintenant on pose
on en tirera
et l'équation précédente deviendra
( l{z-h l) — lz = '2\ \ h T-/—^^
série d'autant plus convergente que z sera plus grand. Elle
exprime la difFérence des logarithmes de deux nombres différant d'une unité. Elle fera donc connaître successivement les logarithmes de tous les nombres entiers. En partant de z =~ I, elle donnera /a par une série déjà assez convergente, puisque ses termes sont au-dessous de ceux de la
progression dont la raison serait - et le premier terme - •
La convergence augmente rapidement avec z.
On formerait donc ainsi une Table de logarithmes dont la base serait <?. Pour passer à une autre base a, il faudrait diviser ceux-ci par la. Si, par exemple, on veut construire une Table dont la base serait la même que celle du système de numération, ce qui est très-important pour la facilité des calculs, il faudrait diviser les logarithmes calculés au moyen de la formule (7) par lio ou I2 [~l^, dont la valeur est
ou encore les multiplier par - — > qu'on appelle le module, et dont la valeur est
Nous nous bornerons à ces premières indications sur la construction des Tables. On a trouvé des procédés, non pas plus sûrs, mais plus rapides, pour arriver au même résultat; ce ne serait pas ici qu'ils pourraient être exposés, et d'ailleurs ces détails spéciaux nous écarteraient un peu trop de notre objet.
264. Nous pourrions traiter beaucoup d'autres questions importantes relatives à la science pure des nombres ; mais les applications de ces théories à la Géométrie en augmentent tellement l'intérêt, et contribuent tellement à en
