CHAPITRE XXXII

l'équation (4) donnera, en faisant k = r, Et comme q est entier, on a

a OU

et, par suite,

'j>{m) =: (iH- .r)'-r::= (l -f-.r)'".

D'où il résulte que le développement (i) est celui de (i -l-a:)'" quand m est un nombre positif quelconque.

Supposant ensuite m négatif, et prenant 7i = — /« , l'équation (3) donne

Or, quand jji =:: o, la fonction o devient (i). On a donc

flm) © ( — m) = I , d'où

et, comme ■ — m est positif, on a

d'où

D'où il conclut que, quelque valeur réelle qu'on donne

a m, on a

i ^ w(m — i). . .(/Tz— /î H- I

3oo SCIENCE DES NOMBRES.

et

Telle est, avec les légères modifications que nous avons indiquées, la démonstration donnée par Euler, de la formule qui donne dans tous les cas le développement de la puissance in d'un binôme, suivant les puissances ascendantes du plus petit de ses deux termes.

DÉVELOPPEMENT DE [og[l -\- x).

262. Il est facile de déduire ce développement de celui de (i -h x)"^ d'après la formule donnée par Euler, et que nous avons démontrée précédemment, savoir :

hm ^^ '- = 1(1 -+- a ,

quand m tend vers zéro, le logarithme étant pris dans la base de Neper. En effet, nous avons

quel que soit x; d'où

ii^x)"^-i ^ , m-i m 1.2

Faisant tendre m vers zéro, le premier membre a pour

limite

et celle du second est

X h -5--f- ...db — d=

3oi Donc