CHAPITRE PREMIER

intérieurs soit égale à deux droits, il vient d'être démontré que cette ligne sera parallèle à FD. Or Euclide demande qu'on accorde comme évident que la ligne AB, différente de EH, rencontrera la droite AB; ou, en d'autres termes, que, par un point E, hors d'une droite CD, il ne peut y avoir qu'une seule ligne parallèle à CD.

Quant au point de rencontre de AB et CD, il est clair qu'il ne peut être que du côté où AB se trouve entre les deux parallèles, c'est-à-dire du côté où la somme des angles intérieurs est moindre que deux droits.

C'est en cela que consiste le célèbre postulatum de ce grand géomètre, et jusqu'ici on n'a encore trouvé aucun moyen rigoureux de s'en passer.

Rien n'est plus facile, en l'admettant, que d'établir la proposition suivante, d'où découle toute la théorie des parallèles :

315. Si deux parallèles sont coupées par une droite^ la somme des angles intérieurs sera égale à deux droits.

Cette réciproque du premier théorème résulte immédiatement du postulatum. Car, si cette somme était différente de deux droits, les deux lignes se rencontreraient: ce qui est contre l'hypothèse.

Nous ne donnerons pas le détail de toutes les conséquences de ces propositions ; elles ne peuvent offrir aucune difficulté, même pour l'ordre dans lequel elles devront être présentées. Nous regarderons donc comme démontrées les propositions relatives aux angles et aux côtés des parallélogrammes, obliques ou rectangles, ainsi qu'à leurs diagonales; aux angles qui ont les côtés parallèles ou perpendiculaires, etc.

316. Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux angles droits.

D. — Se. de rais. y 2« Part. 2?.

Soit le triangle quelconque ABC {Jig- sS); prolongeons l'un de ses côtés, BG par exemple ; dans l'angle extérieur AGD, qui est plus grand que l'angle intérieur ABC, on pourra tirer une ligne CE qui fasse l'angle EGD = ABG ;

Fig. 25.

cette ligne sera parallèle à BA, et, par conséquent, les angles BAG, AGE seront égaux comme alternes-internes. Les trois angles du triangle seront donc respectivement égaux aux trois angles formés d'un même côté de BD par les lignes GA, GE : leur somme est donc égale à deux angles droits.

Et l'angle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs opposés.

Corollaire I. — Tout polygone pouvant être partagé par des diagonales en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux, et la somme des angles de tous ces triangles formant précisément la somme de ceux du polygone, cette dernière sera égale à deux droits répétés autant de fois que le polygone a de côtés moins deux.

Corollaire IL — Si l'on prolonge tous les côtés d'un polygone quelconque en tournant toujours dans le même sens, les angles extérieurs ajoutés à ceux du polygone formeront autant de fois deux droits qu'il a de sommets ou de côtés. La somme de ces angles extérieurs est donc égale à quatre angles droits.

317. Remarque. — Nous avons cru devoir donner avec beaucoup de détail les propositions précédentes, dont l'enchaînement était essentiel à bien indiquer. Maintenant