DES PARALLÈLES

313. Lorsque deux lignes indéfinies sont coupées par une troisième, de telle sorte que la somme des angles intérieurs d'un même côté de la sécante soit égale à deux droits, ou, ce qui est la même condition, que les angles alternes ou correspondants soient égaux, ces deux lignes sont parallèles.

Soient AB, GD les deux droites, EF la sécante et PiE¥ = E¥\)iJig.iZ).

Si ces lignes n'étaient pas parallèles, étant dans un même plan, elles se rencontreraient. Soit H leur point de rencontre ; l'angle AEF extérieur au triangle devrait être plus grand que l'angle intérieur EFH ; or, il lui est supposé égal.

Fi[ï.

Il y aurait donc contradiction : les deux droites ne peuvent donc se rencontrer.

Dans le cas particulier où les angles AEF, EFD seraient droits, c'est-à-dire où la sécante serait perpendiculaire aux deux droites, la proposition s'énoncerait ainsi : Deux droites j>erpendicalaires sur une même droite ne peuvent se rencontrer ; d'où résulterait cette proposition que nous avons déjà démontrée, que d'un point on ne peut abaisser deux perpendiculaires sur une même droite. Euclide l'a regardée comme implicitement renfermée dans la proposition générale.

314. Postulatum d' Euclide, — Soient deux droites indéfinies AB, CD qui, coupées par une troisième EF, font avec elles d'un même côté deux angles intérieurs dont la somme est différente de deux droites {fig- 24) ; si, par le point E,

Fig. 24.

on mène une droite EH telle,. que la somme des deux angles